11とは?

いち いち [2] 【一一】

( 名 )
一つ一つものごと。 「その-について説明する」
( 副 )
一つ残らず。一つ一つ。 「 -文句をつける」 「 -親切に教える」

1+(プラス)1

作者金井美恵子

収載図書金井美恵子短篇 3
出版社日本文芸社
刊行年月1992.4


11

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/05/01 08:35 UTC 版)

10 11 12
素因数分解 11 (素数
二進法 1011
八進法 13
十二進法 B
十六進法 B
二十進法 B
ローマ数字 XI
漢数字 十一
大字 拾壱
算木 Counting rod h1.pngCounting rod v1.png

11(じゅういち、とおあまりひとつ)は、10 の次、12 の前の整数である。十一を意味する英語elevenドイツ語Elf の語源は「残りが1つ」である。これは、指で 10 まで数えたあと1つ残ることを意味する。英語の序数詞では、11th、eleventh となる。ラテン語では undecim(ウーンデキム)。

性質

  • 5番目の素数である。1つ前は7、次は13
    • 2桁では最小の素数である。
    • 約数12
  • 5番目のリュカ数である。1つ前は7、次は 18
  • 4番目のソフィー・ジェルマン素数である。1つ前は5、次は23
  • 3番目の安全素数である。1つ前は7、次は23。
  • 3番目のスーパー素数である。1つ前は5、次は17
  • 11番目の素数:31
  • 1/11 = 0.090909… である(下線部は循環節)。
  • 2n − 1 という形で表すメルセンヌ素数において、n が素数のときに、2n − 1が初めて、211 − 1 = 2,047 = 23 × 89と合成数になる。
  • 2番目の 8n + 3 型の素数であり、この類の素数は x2 + 2y2 と表せるが、11 = 32 + 2 × 12 である。1つ前は3、次は19
  • 13との組 (11, 13) は、3番目の双子素数。1つ前は (5, 7)、次は (17, 19)。
  • (5, 7, 11, 13) は最初の四つ子素数。また、(11, 13, 17, 19) も四つ子素数である。次は (101, 103, 107, 109)。
  • 2個の素数ので表せない4以上の自然数としては最小の数である。
  • 11! + 1 = 39,916,801 であり、n! + 1 の形の階乗素数を生む。
  • 11# + 1 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 + 1 = 2,311 であり、 n# + 1 の形で素数を生む(n# は素数階乗n 以下の素数の総乗)。
  • 2桁の自然数では唯一の回文素数。また1桁の数を除くと最小の回文数であり、1が2つ並ぶぞろ目でもある。112 = 121、113 = 1,331、114 = 14,641もまた回文数である。
  • 偶数桁の回文数は11の倍数である。
  • 2番目のレピュニット R2 であり、レピュニット素数でもある。次のレピュニットは R3 = 111、次のレピュニット素数は R19 である。
  • 2桁の数の中では最小のズッカーマン数である。
  • 九九で表せない(登場しない)整数のうち最小の数である。なお 11 以上の素数は九九には登場しない。
  • ハーシャッド数でない最小の自然数である。したがって11以上の素数はハーシャッド数ではない。
    • 各位の和が11となるハーシャッド数の最小は209、1000までに8個、10000までに16個ある。
  • ある数が11で割り切れるかどうかの判定法として、小数点から奇数桁目の位の和と偶数桁目の位の和の差が 11 の倍数ならば、この数は 11 の倍数である、というのがある。
    • 例: 11 × 8348 = 91828, (8 + 8 + 9) − (2 + 1) = 22 = 11 × 2
一般に、小数点から奇数桁目の位の和から偶数桁目の位の和を引いた数は、元の数と 11 を法としたときの剰余に等しい。
  • 別の判定法として、連続する2つの位ずつのグループに分け(桁数が奇数ならば先頭に 0 を加える)、分割された数の和が 11 で割り切れるならば、その数は 11 で割り切れる。例えば、数 65637 について、06 + 56 + 37 = 99 = 11 × 9 なので、65637 は 11 で割り切れる。最下桁に 0 を加えてもこの判定法は成立する。例えば、数 65637 について、65 + 63 + 70 = 198 は 11 で割り切れる。一般に、全てのグループの数字の個数が偶数個であればよい(全てのグループが同じ個数の数字を持つ必要はない)。
  • 2番目のグッド素数である。
  • 13n − 1 の形式の実数部・虚数部を持たないアイゼンシュタイン素数である。
  • ストロボグラマティック素数かつ二面角素数である。
  • ある数が 11 で割り切れれば、それを逆から書いた数も 11 の倍数になる。そして、ある数の全ての隣り合った桁の数字の和が 9 を超えていないならば、その数に 11 を掛け、それを逆から書いた数を 11 で割ると、元の数を逆から書いた数が出力される(例えば 142312 × 11 = 1565432, 2345651 ÷ 11 = 213241)。
  • 11 は 99 の約数なので、分母が 11 である分数を小数表示すると、循環節の長さは 2 である。
  • 6進数と8進数において、各桁の数字の和が合成数になる最も小さな素数は 11 である。
  • 10進数において、ある整数が11で割り切れる数かを判定する簡単なテストがある。奇数桁にある数を全て加え、それから偶数桁にある数を全て加える。これらの差が11で割り切れる場合、その整数は11で割り切れる[1]。例えば、65637 を例に取ると、(6 + 6 + 7) − (5 + 3) = 11 なのでこれは 11 で割り切れる。このテクニックは個々の数字というよりも、各グループにおける数字の数が奇数であれば、たとえ同じ数でなくても、数字のグループに対して適用できる。例えば、65637 を例に取ると、3桁ずつとって 65 − 637 = −572(11で割り切れる数)となる。
  • 十進法で 11 とある数との乗法を簡単に行う方法がある。桁数が、
    • 1桁 - 数を複製する(すなわち 2 × 11 = 22 である)。
    • 2桁 - 2桁を加えて、結果を真ん中に置く(例:47 × 11 = 4(4 + 7)7 = 517)。
    • 3桁 - 掛ける数の1番右の桁が結果の1番右の桁となり、結果の2番目の桁は掛ける数の1番右と2番目の桁の和であり、結果の3番目の桁は掛ける数の2番目と3番目の数の和であり、結果の4番目の桁は掛ける数の3番目の桁である。和が10以上である場合には1繰り上がる。例えば 123 × 11 = 1(1 + 2)(2 + 3)3 = 1353, 481 × 11 = 4(4 + 8)(8 + 1)1 = 5291 である。
    • 4桁以上 - 3桁の場合と同様。
  • 10進数において、ハーシャッド数でない最小の自然数である。
  • 13以上の進数(例えば十六進法)において、10 が A であるのに対し 11 は B で表される。しかし、十二進法では時たま 10 が T、11 が E と表される。
  • シュテルマー数、ヘーグナー番号、およびミルズ定数によって生成される素数である。
  • 3変数のヘルムホルツ方程式変数分離のテクニックを使用して解くことができる、11 の直角な曲線の(等角の対称の中への)座標系が存在する。
  • 35 個のヘキソミノのうち 11 個が立方体を形成するため折り畳むことができる。66 個のオクチアモンドのうち 11 個を八面体を形成するため折り畳むことができる。
  • 無作為に選ばれた分割数が11の倍数である確率は 1/11 よりずっと高い。
  • ポリオミノの研究の指導者、および貢献者であるデイビッド・A・クラルネルによると、長方形を奇数個の矩形でない合同なポリオミノに切り分けることが可能である。11は、最も少ないそのような数、素数である唯一のそのような数、および3の倍数ではない唯一のそのような数である。
  • 折り紙で面積が最大の正11角形は折れない。また、折り紙で折れない、面積が最大の正n角形では最小の数である。
  • フィボナッチ数列を構成する最初の4数の和である。(1+2+3+5=11)1つ前は6、次は19
  • 異なる平方数の和で表すことの出来ない31個の数の中で6番目の数である。1つ前は8、次は12
  • 各位の和(数字和)が2となる2番目の数。1つ前は2、次は20
    • 各位の和(数字和)が n になる n 番目の数である。1つ前は1、次は21

基本的な計算のリスト

乗法
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
11x 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
x 21 22 23 24 25 26 50 100 1000
11x 231 242 253 264 275 286 550 1100 11000
除法
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
11/x 11 5.5 3.6 2.75 2.2 1.83 1.571428 1.375 1.2 1.1 1 0.916 0.846153 0.7857142 0.73
x/11 0.09 0.18 0.27 0.36 0.45 0.54 0.63 0.72 0.81 0.90 1 1.09 1.18 1.27 1.36
冪乗 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
11x 11 121 1331 14641 161051 1771561 19487171 214358881 2357947691 25937421601 285311670611 3138428376721 34522712143931
x11 1 2048 177147 4194304 48828125 362797056 1977326743 8589934592 31381059609 100000000000 285311670611 743008370688 1792160394037
1 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100
110 120 130 140 150 200 250 500 1000 10000 100000 1000000
x11 1 5 A11 1411 1911 2311 2811 3711 4611 5511 6411 7311 8211 9111
A011 AA11 10911 11811 12711 17211 20811 41511 82A11 757211 691411 62335111

11を作るための基本的な演算の一覧

+ × ÷
0 0 + 11 0 − (−11) N/A N/A
1 1 + 10 1 − (−10) 1 × 11 1 ÷ 0.09
2 2 + 9 2 − (−9) 2 × 5.5 2 ÷ 0.18
3 3 + 8 3 − (−8) 3 × 3.6 3 ÷ 0.27
4 4 + 7 4 − (−7) 4 × 2.75 4 ÷ 0.36
5 5 + 6 5 − (−6) 5 × 2.2 5 ÷ 0.45
6 6 + 5 6 − (−5) 6 × 1.83 6 ÷ 0.54
7 7 + 4 7 − (−4) 7 × 1.571428 7 ÷ 0.63
8 8 + 3 8 − (−3) 8 × 1.375 8 ÷ 0.72
9 9 + 2 9 − (−2) 9 × 1.2 9 ÷ 0.81
10 10 + 1 10 − (−1) 10 × 1.1 10 ÷ 0.90
11 11 + 0 11 − 0 11 × 1 11 ÷ 1
12 12 +( − 1) 12 −1 12 × 11/12 11 ÷ 12/11

科学において

天文学

音楽において

スポーツにおいて

  • サッカークリケットでは1度にフィールドの上に1チームあたり11人の選手がいる。学校で、フレーズ "the first football XI" および "the first cricket XI" は一般的に、現在プレーしている1番目のチームを指す。他のチームはしばしば "the second XI" などと呼称される。
  • また、サッカーにおいて、ペナルティスポットがゴールラインから約11m(正確に12ヤード)の所にあるので、ドイツ語(および、場合によってはメートル法を使用する他の国)でペナルティーキックは "Elfmeter" と称される。ポジション名が取られたピラミッドフォーメーションでは、左のウィングフォワードが11を着けた。現代のゲーム、特に4-4-2フォーメーションを使用する場合において、左サイドのミッドフィールダーが着ける。フォワードが着けることもある。
  • フィールドホッケーチームは11人である。サッカーにおいてそうであるように、11 を身に着けている選手は通常左側でプレイする。
  • アメリカンフットボールで同時にフィールドでプレーできるのは11人である。
  • ラグビーユニオンではレフトウィングが 11 を着けている。
  • ラグビーリーグは、11 は2列目のフォワードが付ける。
  • クリケットでは、11番目の打者は通常テイルエンドと呼ばれ最も弱い打者である。
  • 阪神タイガースの背番号11は村山実投手の永久欠番である。
  • 日本プロ野球連続完投勝利記録は斎藤雅樹が持つ「11」。達成した翌年の1990年からは背番号も 11 としている。

軍隊において

コンピューティングにおいて

歴史に関する 11

その他 11 に関すること

符号位置

記号 Unicode JIS X 0213 文字参照 名称
U+216A 1-13-31 Ⅺ
Ⅺ
ROMAN NUMERAL ELEVIN
U+217A 1-12-31 ⅺ
ⅺ
SMALL ROMAN NUMERAL ELEVIN
U+246A 1-13-11 ⑪
⑪
CIRCLED DIGIT ELEVIN
U+247E - ⑾
⑾
PARENTHESIZED DIGIT ELEVIN
U+2492 - ⒒
⒒
DIGIT ELEVIN FULL STOP
U+24EB 1-12-11 ⓫
⓫
DOUBLE CIRCLED DIGIT ELEVIN

脚注

  1. ^ Higgins, Peter (2008). Number Story: From Counting to Cryptography. New York: Copernicus. p. 47. ISBN 978-1-84800-000-1. 
  2. ^ [1][リンク切れ]
  3. ^ [2][リンク切れ]
  4. ^ Keyboard Shortcuts for Internet Explorer 4[リンク切れ]

関連項目

2桁までの自然数
(0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
  • 斜体で表した数は素数である。



1+1

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2015/11/08 02:26 UTC 版)

1+1(いちたすいち)は、加法数式のひとつである。しばしば、最も単純な計算問題として言及され、様々な比喩に用いられる。計算結果が 2 とされる初等的、数学的な意味の他にも、抽象的な意味を持ち得る。

初等的な意味

一般に、加法の最も素朴な意味は「合併」であり、多くの初学者は 1+1=2 の意味として「1つのリンゴと1つのリンゴを合わせると、全部で2つのリンゴになる」といった理解の仕方をする。「合併」と似た意味であるが、初等教育において厳密には区別されるものとして「添加」がある[1]。例えば、「1人の乗客が乗ったバスに、もう1人乗客が乗ってくると、乗客は全員で2人になる」といったものであり、この場合 1+1 のふたつの 1 は区別される。すなわち、+ の前の 1 は足される数であって最初から乗っていた乗客を表し、+ の後の 1 は足す数であって後から乗ってきた乗客を表す。

以上の例では、1 はものの個数・数量を表す基数であるが、1 のような自然数を表したり、順序を表す序数である場合がある。1 が量を表す例としては「1リットルの水と1リットルの水を合わせると2リットルの水になる」といったMKS単位系などで表現されるものがあり、順序を表す例としては「徒競走で1番の人の1番後の人は2番である」などがある。このように、初等教育の範囲内においてさえ、1+1 は様々な意味を持つ抽象的な概念である。

数学基礎論

初等教育では 1+1=2 は自明のこととして扱われるが、公理から出発して証明された命題のみを真実として認める、というエウクレイデス以来の哲学からすると、1+1=2 の論理的な位置付けを明らかにすることが望まれる。数学基礎論が整備されつつあった時代に、ホワイトヘッドラッセルは、数学の基礎的な部分を完全に形式的に展開することを目標として『プリンキピア・マテマティカ』を著した。この書物では、記号論理学的な準備に数百項が費やされており、実際に十進法の演算が定義されて 1+1=2 が証明されるまで700ページあまりを必要としている[2]

『プリンキピア・マテマティカ』は、先駆的な仕事であったものの、現代的には批判もあり、自然数の定義として通常採用されるのはペアノの公理である。それによると、自然数の間に「後者関数」と呼ばれる関数 suc(a) が与えられ、(自然数に 0 を含める場合)0 の「後者」suc(0) が 1、その「後者」suc(1)が 2 と定義される。一方、加法は n + 0 = n および n + suc(m) = suc(n + m) によって再帰的に定義される。したがってこれらと等号公理により 1 + 1 = 1 + suc(0) = suc(1 + 0) = suc(1) = 2 である。

抽象代数

などの抽象代数においては、1 は乗法における単位元を意味し、加法は個数の合併という意味を離れた抽象的な二項演算である。

例えば、2元体 F2 は、乗法の単位元 1 と加法の単位元 0 のみをにもち、この世界においては 1+1=0 である。F2Z/2Z(整数全体の集合 Z を、2 を法とする合同関係で類別した同値類の集合)と見なせば、1 は奇数、0 は偶数を表し、1+1=0 は「奇数と奇数の和は偶数」であることを表していると見なせる。もしくは、F2 における加法は、1 を真、0 を偽とした排他的論理和を意味していると見なすこともできる。この演算は、暗号理論符号理論ニムの必勝法などに応用がある。

数学を離れた転用の例

日常的に使われる比喩として、「一足す一が二にならない」という表現で、机上の論理が必ずしも現実に役に立たないことや、理性より感情や直感を重んじるべき場面であることを表す。他に、理不尽である、神秘的である、といったニュアンスも持つ。また、「一足す一が三になる」(もしくは「三以上になる」)という表現で、相乗効果があることを意味する場合がある。 他にも「単純」や「明解」であることを「一足す一が二になるように」という表現で使う。

脚注

  1. ^ 『現代数学教育事典』参照。近年では「増加」ともいう。
  2. ^ プリンキピア・マテマティカ、第2巻、*110.643 で、1+1=2 が証明された、と宣言されている。

参考文献

  • 遠山啓編『現代数学教育事典』明治図書出版、1965年 ISBN 978-4-18-500114-4
  • A. N. Whitehead, B. Russel; Principia Mathematica, 3 Vols, Cambridge University Press, 2nd ed, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3)

1/1

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2015/11/07 21:52 UTC 版)

1/1 とは、

  • 分数の一般的表記 n/m において、n = m = 1 の場合。値は整数 1 に等しい。
  • 1月1日のこと。
  • 書類などのページ表記において、全1ページ中の1ページ目、即ちこのページのみで完結していて後続のページが無いことを表す。
  • 1/1スケールのこと。以下で記述する。

1/1スケール

1/1スケール(いちぶんのいちスケール)は、図面模型などで用いられる縮尺の1つで、実物と同じ大きさで作成されていることを表す。実物大、原寸大、等身大などとも呼ばれる。

製品の形状や構造などを設計するための図面は通常取り扱いの容易な縮尺で作られるが、実際に製品を製造するためには1/1スケールの図面が作成されることも多い。これは、詳細な納まりなど、原寸大でなければ分かりづらいことがあるためで、かつては建物に使われる鉄骨のように長さ10mを超えるような大きなものまで1/1スケールの図面(原寸)が作図されていた。しかし、CADの普及によって実物大でのチェックがデータ上で行えるようになったため、実際に1/1スケールの図面が作図されることは少なくなっている。

1/1 ガンダム

図面と同様の理由で、製品を実際に作成する前に、1/1スケールの模型を作ることも多い。小さなものだけでなく、鉄道車両航空機などについても、構造や性能の検証のために原寸大の模型を作ることがしばしば行われる。このような模型は、それが形状や構造を模したにすぎない時はモックアップ(木型)と呼ばれ、最低限の機能を有している時はプロトタイプと呼ばれる。モックアップに関しても、現在では3DCADのデータでその機能の一部を代替することが行われている。マネキン人形や店頭ディスプレイのような商業用の模型や、撮影用の小道具や商品サンプルのような実物の代用とする目的でも、実物大の模型が使われることは多い。

趣味としての模型は実物を縮小する場合が多いが、1/1スケールのものもある。銃器刀剣のように実物の所有が容易でないものに関しては、実物大の模型(レプリカ)が所有の対象として作られており、プラモデルのような組立式の模型でも、昆虫や小鳥などの小動物や、銃器類などについては、実物大のものが作られている。人形も等身大のものが作られることがあるし、いわゆるフィギュアアニメなどの登場人物の人形)でも究極のアイテムとして等身大のものが作られ、一部のマニアに珍重されている。また、アニメに登場する巨大人型兵器ガンダム」の1/1スケール模型が作られ、イベントなどで展示されている。


正の数と負の数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/07/25 17:03 UTC 版)

(11 から転送)

正の数(せいのすう、: positive number)とは、0より大きい実数である。負の数(ふのすう、: negative number)とは、0より小さい実数である。

定義

数学において負数はマイナス記号を数字の前につけて表されるが、簿記などでは数字を赤くしたり三角形を数字の前に付けることによって表すこともある。

は増減の無い状態であるため、正でも負でもない。負でない数 (non-negative number) とは零より小さくない、つまり零または正の実数である。正でない数 (non-positive number) とは零より大きくない、つまり零または負の実数である。

複素数の体系で考えている場合、そのうち実数についてのみ正負を論じ、虚数は正でも負でもないとされる。例えば「正の数」と言えば、それが実数であることを暗黙のうちに含意するが、明確化のために「正の実数」と言うこともできる。

一般に順序体において、零元より大きな元を正の元、零元より小さな元を負の元という。順序体ではない、例えば複素数体、有限体p 進数体においては、四則演算と両立する正負の概念を定義することができない。

負の数

負の整数は、方程式 xy = z がどんな xy に対しても、z に関する方程式として意味をもつように自然数の体系を拡張して得られるものだと考えられる。このような負の整数の捉え方と同様にして、負の有理数や負の実数も得られる。

負数は、温度のように目盛り上で零より低くなる値を記述するのに有用である。簿記においても、負債の表現に使用できる。簿記において、負債はしばしばい数字(赤字)や三角形を前に付けた数字によって表す。

負でない数

実数はゼロに等しいかそれより大きい(すなわち正であるかゼロである)ときかつそのときに限り、負でない。したがって負でない整数はゼロ以上の全ての整数であり、負でない実数はゼロ以上の全ての実数である。

実行列

行列Aについて、A負でないということを、Aのすべての成分が負でない、というふうに定めることができる。このとき、実行列のうちには正とも負とも言えないものもあることになる。また、行列Aについて、Aの全ての正方部分行列の行列式が負でないとき、Aのことを完全に非負(行列理論)あるいは、完全に正(コンピュータ科学者)と呼ぶことがある。

一方で、線形代数的な観点から、実対称行列やより一般に複素エルミート行列について、上とは異なった正負の概念がしばしば用いられる。エルミート行列Aは、その固有値の全てが負でないときに、負でない(あるいは単に、正である)とよばれる。Aが負でないということはある行列BについてAB*.Bと書けることと同値になる(行列の定値性も参照)。

関数

符号関数

定義域が実数であり、正数に対して1を、負数に対して−1を、ゼロに対して0を返す関数 sgn(x) を定義できる。この関数は符号関数と呼ばれることがある。

このとき(x=0の場合を除き)以下の式が得られる。

ここで |x| は x絶対値であり、H(x) はヘヴィサイドの階段関数である。微分法も参照。

複素符号関数

定義域が複素数であり、正数に対して1を、負数に対して-1を、ゼロに対して0を返す csgn(x) を定義できる 。この関数は複素符号関数と呼ばれることがある。

複素数の大小は以下のように解釈する。

符号付き数の算術演算

加算と減算

数列は、零・正数・負数の三種類が組み合わさって構成されており、基準点が零、基準点から増えている分が正数、基準点から減っている分が負数となる。

従って、加算減算では、負数は負債であり、正数は収益であると考えることができる。同じく、時間や世代の距離を数える場合にも、零は現在や自分、負数は過去や年上(親や祖父母など)、正数は未来や年下(子供や孫など)であると考えることもできる。

負数を加えることは、対応する正数を減ずることになる。逆に、負数を減ずることは、対応する正数を加えることになる。

Number-line.gif
9 − 5 = 4
(9歳年下の人物と5歳年下の人物は、4歳離れている。)
7 − (−2) = 9
(7歳年下の人物と2歳年上の人物は、9歳離れている。)
−4 + 12 = 8
(4歳年上の人物から12歳年下の人物は、自分の8歳年下である。)
5 + (−3) = 5 − 3 = 2
(¥5を持っていて¥3を借りたら、純資産は¥2である)
–2 + (−5) = −2 − 5 = −7

減算と負符号の概念の混乱を避けるため、負符号を上付きで書く場合もある(ただし、会計では負符号を△で表現する)。

2 + 5 = 2 − 5 = 7
△2 + △5 = △2 − 5 = △7

正数をより小さな正数から減ずると、結果は負となる。

4 − 6 = −2
(¥4を持っていて¥6を使ったら、負債¥2が残る)

正数を任意の負数から引くと、結果は負となる。

−3 − 6 = −9
(負債が¥3あってさらに¥6を使ったら、負債は¥9となる)

負数を減ずることは、対応する正数を加えることと等価である。

5 − (−2) = 5 + 2 = 7
(純資産¥5を持っていて負債を¥2減らしたら、新たな純資産は¥7となる)

別の例

−8 − (−3) = −5
(負債が¥8あって負債を¥3減らしたら、まだ¥5の負債が残る)

乗算

負数を掛けることは、正負の方向を逆転させることになる。負数に正数を掛けると、積は負数のままとなる。しかし、負数に負数を掛けると、積は正数となる。 [1]

(−20) × 3 = −60

(負債¥20を3倍にすれば、負債¥60になる。)

(−40) × (−2) = 80

(後方へ毎時40km進む車は、2時間前には現在地から前方へ80kmの位置にいた。)

これを理解する方法の1つは、正数による乗算を、加算の繰り返しと見なすことである。3 × 2 は各グループが2を含む3つのグループと考える。したがって、3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6 であり、当然 −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 である。

負数による乗算も、加算の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × −2は各グループが−2を含む3つのグループと考えられる。

3 × −2 = (−2) + (−2) + (−2) = −6

これは乗算の交換法則を満たすことに注意

3 × −2 = −2 × 3 = −6

「負数による乗算」と同じ解釈を負数に対しても適用すれば、以下のようになる。

−4 × −3  =   − (−4) − (−4) − (−4)
=  4 + 4 + 4
=  12

しかし形式的な視点からは、2つの負数の乗算は、積の和に対する分配法則によって直接得られる。

−1 × −1  =  (−1) × (−1) + (−2) + 2
=  (−1) × (−1) + (−1) × 2 + 2
=  (−1) × (−1 + 2) + 2
=  (−1) × 1 + 2
=  (−1) + 2
=  1

除算

除算も乗算と同じく、負数で割ることは、正負の方向を逆転させることになる。負数を正数で割ると、商は負数のままとなる。しかし、負数を負数で割ると、商は正数となる。

被除数と除数の符号が異なるなら、商は負数となる。

(−90) ÷ 3 = −30

(負債¥90を3人で分けると、負債¥30ずつ継承される。)

24 ÷ (−4) = −6

(東を正数、西を負数とする場合:4時間後に東へ24km地点に進む車は、4時間前には西へ6kmの位置にいる。)

両方の数が同じ符号を持つなら、商は(両方が負数であっても)正数となる。

(−12) ÷ (−3) = 4

累乗

累乗乗算除算と同じく、指数を正数にすると、「n乗」に倍増される。しかし、指数を負数にすると、「1 / n乗」に分割される。つまり、指数 n を正数にすると「n 回乗算を繰り返す」ことになるが、指数 n を負数にすると「n 回除算を繰り返す」ことになる。

33 = 27

(×3 ×3 ×3 = 27)

3−3 = 1/27

(÷3 ÷3 ÷3 = 1/27)

360 × 23 = 2880

(360 ×2 ×2 ×2 = 2880)

360 × 2−3 = 45

(360 ÷2 ÷2 ÷2 = 45)

負の整数と負でない整数の形式的な構成

有理数の場合と同様、整数を自然数の順序対 (a, b) (これは整数 ab を表していると考えることができる)を下に述べるようにして同一視したものとして定義することによって自然数の集合N整数の集合Zに拡張できる。これらの順序対に対する加法と乗法の拡張は以下の規則による。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

ここで以下の規則により、これらの順序対に同値関係 ~ を定義する。

(a, b) ~ (c, d) となるのは a + d = b + c なる場合、およびこの場合に限る

この同値関係は上記の加法と乗法の定義と矛盾せず、ZN2の ~ による商集合として定義できる。すなわち2つの順序対 (a, b) と (c, d) が上記の意味で同値であるとき同一視する。

さらに以下の通り全順序Zに定義できる。

(a, b) ≤ (c, d) となるのは a + db + c となる場合、およびこの場合に限る

これにより加法の零元が (a, a) の形式で、(a, b) の加法の逆元が (b, a) の形式で、乗法の単位元が (a + 1, a) の形式で導かれ、減法の定義が以下のように導かれる。

(a, b) − (c, d) = (a + d, b + c).

負の数の起源

長い間、問題に対する負の解は「誤り」であると考えられていた。これは、負数を実世界で見付けることができなかったためである(例えば、負数のリンゴを持つことはできない)。その抽象概念は早ければ紀元前100年紀元前50年には認識されていた。中国の『九章算術』には図の面積を求める方法が含まれている。赤い算木で正の係数を、黒い算木で負の係数を示し、負の数がかかわる連立方程式を解くことができた。紀元後7世紀ごろに書かれた古代インドの『バクシャーリー写本[2]は"+"を負符号として使い、負の数による計算を行っていた。これらが現在知られている最古の負の数の使用である。

プトレマイオス朝エジプトではディオファントス3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 (解は負となる)と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負数の概念がなかったことを示している。

7世紀の間に、負数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは『ブラーフマスプタ・シッダーンタ』(628年)において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負数とが関わる演算に関する規則も与えている。彼は正数を「財産」、零を「0 (cipher)」、負の数を「借金」と呼んだ[3][4]12世紀のインドで、バースカラ2世も二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切なものとして負の根を拒絶している。

8世紀以降、イスラム世界ブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年頃までには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。

負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。

しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』(1202年)の第13章で負数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負数を表した。ヨーロッパ人の著書で負数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。

イギリスの数学者フランシス・マセレス[2]1759年、負数は存在しないという結論に達した[5]

負数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負数が無限大より大きいと信じており(この見解はジョン・ウォリスと共通である)、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった[6]。負数が無限大より大きいという論拠は、 の商と、x が正の側から x = 0 の点に近づき、交差した時何が起きるかの考察によって生じている。

関連項目

脚注と参考文献

  1. ^ 「相対論の式を導いてみよう、そして、人に話そう」小笠英志 ベレ出版 ISBN-13: 978-4860642679 の PP.121-127にマイナス×マイナスがプラスになることの小学生も納得できる説明が書いてある。
  2. ^ Hayashi, Takao (2005), "Indian Mathematics", in Flood, Gavin, The Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, pp. 360-375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
  3. ^ Colva Roney-Dougal, Lecturer in Pure Mathematics at the University of St Andrews, stated this on the BBC Radio 4 "In Our Time", on Negative Numbers, 9 March 2006.
  4. ^ Knowledge Transfer and Perceptions of the Passage of Time, ICEE-2002 Keynote Address by Colin Adamson-Macedo. [1]
  5. ^ Maseres, Francis, 1731–1824. A dissertation on the use of the negative sign in algebra, 1758.
  6. ^ Alberto A. Martinez, Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton University Press, 2006; おもに1600年代から1900年代前半にかけての、負数に関する論争の歴史。

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