12とは?

いち に [1] [2] 【一二】

一つ二つ。わずか。若干。 「 -反対意見もあった」

12―トゥエルヴ

作者花郎藤子

収載図書鬼火ホラー競作
出版社白泉社
刊行年月2000.7
シリーズ名白泉社花丸文庫


1/2

作者北条義弘

収載図書本格推理 4 殺意継ぐ者たち
出版社光文社
刊行年月1994.8
シリーズ名光文社文庫


12

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/04/16 21:28 UTC 版)

11 12 13
素因数分解 22×3
二進法 1100
八進法 14
十二進法 10
十六進法 C
二十進法 C
ローマ数字 XII
漢数字 十二
大字 拾弐
算木 Counting rod h1.pngCounting rod v2.png
位取り記数法 十二進法

12十二、じゅうに、とおあまりふたつ)とは、自然数、また整数において、11 の次で 13 の前のである。英語の序数詞では、12thtwelfth となる。ラテン語では duodecim(ドゥオデキム)。

性質

  • 合成数であり、正の約数1, 2, 3, 4, 6 と12である。自身を除く正の約数の16過剰数。最小の過剰数である。
  • 1/12 = 0.083333…(下線部は循環節)
  • 12の倍数は全て過剰数である。一般に過剰数の倍数もまた過剰数となる。
  • 4番目の高度合成数である。1つ前は6、次は 24。12以上の高度合成数は全て過剰数になる。
  • 5番目の高度トーティエント数。1つ前は8、次は24。
  • 3番目の五角数であり、3 × (3 × 3 − 1)/ 2 = 12。1つ前は5、次は22
  • 3番目の矩形数であり、3 × (3 + 1) = 12。1つ前は6、次は20
    • 12 = 31 + 32。3の自然数乗の和と見たとき1つ前は3、次は39
    • 12 = 2 + 4 + 6
  • 4番目のペル数である。1つ前は5、次は29
  • 約数の個数と和が完全数になる最小のサブライム数である。次は6,086,555,670,238,378,989,670,371,734,243,169,622,657,830,773,351,885,970,528,324,860,512,791,691,264。
  • 五角数ハーシャッド数になる3番目の数である。1つ前は5、次は70
  • 3 と 4 の積であり、12 = 3 × 4 と最初の自然数4つの連続となる。このような計算は次に 56 = 7 × 8 がある。
  • 12個の面を持つ立体図形は十二面体と呼ばれる。正十二面体正八面体の次に面の数が少ない正多面体である。次に面の数が少ない正多面体は、面が20個の正二十面体である。因みに、正六面体および正八面体の辺の数は12である。正二十面体頂点の数は12であり、正十二面体とは双対多面体(双対)の関係である。
  • の周りには最大12個の同じ大きさの球を重ならずに接するように並べることができる(→接吻数問題)。
  • 12本のを持つ平面図形は十二角形である。正十二角形と正三角形平面を敷き詰めることができる。
  • 正三十角形の中心角は 12° である。
  • ペントミノは、全部で12種類ある。また、ヘキサモンドも全部で12種類ある。
  • 連続した階乗数の積である。12 = 1! × 2! × 3!。1つ前は2、次は288
  • 12! − 1 = 479,001,599 であり、n! − 1 の形で素数を生む。
  • 12番目の素数:37
  • 九九では 2 の段で 2 × 6 = 12(にろくじゅうに)、3の段で 3 × 4 = 12(さんしじゅうに)、4 の段で 4 × 3 = 12(しさんじゅうに)、6 の段で 6 × 2 = 12(ろくにじゅうに) と4通りの表し方がある。九九で 4 通りの表し方のある数は他に 6, 8, 18, 24 のみである。
  • 12! = 479,001,600 である。
  • 各位の和が12となるハーシャッド数の最小は48、100までに2個、1000までに19個、10000までに113個ある。
  • 11番目のハーシャッド数である。1つ前は10、次は18
  • 異なる平方数の和で表すことの出来ない31個の数の中で7番目の数である。1つ前は11、次は15
  • 約数の和が12になる数は2個ある。(6, 11) 約数の和2個で表せる最小の数である。次は18。
    • 12は完全数6の約数の和である。(1 + 2 + 3 + 6 = 12)
    • 倍積完全数の約数の和としては2番目の数である。1つ前は1、次は56
    • 約数の和が12より小さな数で2個ある数はない。1つ前は1(1個)、次は24(3個)。
    • 12, 13, 14, 15と4連続で約数の和で表せる数が並ぶ最初の数である。
  • 自然数を連結してできる最小の数である。次は123。(参照オンライン整数列大辞典の数列 A007908)

その他 12 に関連すること

  • 12の接頭辞:duodeci()、dodeca(
  • 12ドゥデキャプル (duodecuple) という。
  • 慣用表現では、「余分な程に完全」という意味で12が使われることがある。たとえば、10 まで数えても足りない時、余分に12まで数える習慣がある。
    • 日本語では、充分過ぎるとの意味を「十二分」(= 12/10) と表現する。
    • 英語ドイツ語では、12 を「残り2つ」([英]twelve, [独]Zwolf)と表現する。これは、十指に足二本を加えて12となるからとも言われる。
  • 12は、E12系列の標準数
  • バーコード規格、EAN の国コード12は、アメリカ合衆国カナダ
  • 1モルは、炭素12を集めて12グラムになる量と定義されている。
  • 30日周期()を12周すると1になる。このため、時間には十二進法が見られる。
    • 時計の文字盤では、12は360日(≒1年)を意味する。
    • 30(≒1箇月)を 360° とすると、12° で1日となる。このため、当初は、1日は12時間とされていた。現在では、1日は 12 の2倍で24時間、1箇月は 360 の2倍で約720時間となっている。
  • 12箇月を1年というのに対して、12年を1回りという。
  • トランプの12のカードは、クイーン
  • 結婚12周年記念日は、絹婚式、亜麻婚式
  • 欧州旗は、十二星旗。

テレビのチャンネル番号

航空機関連

各種の C12

イギリス周辺関連

着物に関する12

臓器関連

  • 十二指腸内臓の一種で、の幅の12倍に相当する長さであることに因んだ名称であるといわれている。

スポーツに関する12

地名に関する12

12番目のもの

元素、惑星

12に関連する歴史上の人物

その他

第12連隊

十二個一組のもの

12に関連する団体・作品

符号位置

記号 Unicode JIS X 0213 文字参照 名称
U+216B 1-13-32 Ⅻ
Ⅻ
ROMAN NUMERAL TWELVE
U+217B 1-12-32 ⅻ
ⅻ
SMALL ROMAN NUMERAL TWELVE
U+246B 1-13-12 ⑫
⑫
CIRCLED DIGIT TWELVE
U+247F - ⑿
⑿
PARENTHESIZED DIGIT TWELVE
U+2493 - ⒓
⒓
DIGIT TWELVE FULL STOP
U+24EC 1-12-12 ⓬
⓬
DOUBLE CIRCLED DIGIT TWELVE

参考文献

関連項目

2桁までの自然数
(0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
  • 斜体で表した数は素数である。

12+

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2011/07/24 08:45 UTC 版)

12+
発売元 アニゼッタ
発売日 2011年3月31日
価格 9,240円(税込)
ジャンル 魔術師の掌で踊らされる恋愛ADV
レイティング 18禁

12+』(トゥエルブプラス)は2011年3月31日にアニゼッタより発売された18禁パソコンゲーム(アダルトゲーム)ソフトである。

登場人物

ランスロット
声:桃也みなみ
トリスタン
声:鈴谷まや
ガウェイン
声:渋谷ひめ
ケイ
声:藍川珪
マーリン
声:霧島はるな
ティオ
声:島田友樹

スタッフ

  • 原画 - ツキトジ
  • シナリオ - 狐月
  • BGM - アメディオ
  • 主題歌 - ひうらまさこ

外部リンク


1/2

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/03/19 13:01 UTC 版)

1/22分の1、にぶんのいち)は、有理数のうち 01 の間にある数であり、2逆数である。文章の中では 1/2 と表記されることも多い。

数学的性質

sin π/6 = sin 5/6π = 1/2, cos π/3 = cos 5/3π = 1/2

である。したがって

sin−1 1/2 = π/6, cos−1 1/2 = π/3

である。なお

tan−1 1/2 = 0.46364760900080611621… である。
  • 1 から n までの自然数1/2n(n + 1) に等しい(→三角数)。
  • 三角形面積は(底辺)×(高さ)× 1/2 で求められる。あるいは、三角形の2の長さを a, b、それらがなすθ とすると、面積 S
S = 1/2ab sin θ
と表せる。

その他 1/2 に関すること

符号位置

記号 Unicode JIS X 0213 文字参照 名称
½ U+00BD 1-9-20 ½
½
½
2分の1

関連項目


ゼロ除算

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/03/20 07:37 UTC 版)

(12 から転送)

ゼロ除算(ゼロじょざん、division by zero)は、0 で除す割り算のことである。このような除算は除される数を a とするならば、形式上は a0 と書くことができるが、数学において、この式と何らかの意味のある値とが結び付けられるかどうかは、数学的な設定にまったく依存している話である。少なくとも通常の実数の体系とその算術においては、意味のある式ではない。

コンピュータなど計算機においても、ゼロ除算に対するふるまいは様々である。たとえば浮動小数点数の扱いに関する標準であるIEEE 754では、数とは異なる無限大を表現するものが結果となる。他には、例外が起きてプログラムの中断を引き起こすかもしれないし、例えばナイーブに取尽し法を実行しようとしたなら無限ループに陥るか、なんらかの最大値のようなものが結果となるかもしれない。

計算尺では、対数尺には0に相当する位置が存在しない(無限の彼方である)ため不可能である。

算数的解釈

算数レベルでは、除算は何らかの物の集合をそれぞれ同数になるように分けることで説明される。例えば、10個のリンゴを5人で分ける場合、各人は 10 ÷ 5 = 2個のリンゴを受け取ることになる。同様に、10個のリンゴを1人で分ける場合、各人は 10 ÷ 1 = 10個のリンゴを受け取る。

この考え方を使ってゼロ除算を説明できる。10個のリンゴを0人で分けるとする。各人は何個のリンゴを受け取るだろうか? 10 ÷ 0 を計算しようとしても、元の設問自体が無意味なので無意味となる。この場合、各人が受け取る個数は、0個でも、10個でも、無限個でもない。なぜなら、元々受け取るべき人はいないからである。以上のように算数レベルで考える場合、ゼロ除算は無意味または未定義となる。

ゼロ除算の未定義性を理解する別の方法として、減法の繰り返し適用という考え方がある。すなわち、余りが除数より少なくなるまで除数を繰り返し引くのである。たとえば 13 ÷ 5 を考えると、13 から 5 は 2 回引くことができ、余りは 3 となる。結果は 13 ÷ 5 = 2 あまり 3 などと記される。ゼロ除算の場合、ゼロを何度引いても余りがゼロより小さくなることはないため、無限に減法を繰り返すだけとなる。

初期の試み

628年ブラーマグプタが著した『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』では、0 を数として定義し、その演算結果も定義している。しかし、ゼロ除算の説明は間違っていた。彼の定義に従うと代数的不合理が生じることを簡単に証明できる。ブラーマグプタによれば、次の通りである。

「正または負の数をゼロで割ると、分母がゼロの分数となる。ゼロを正または負の数で割ると、ゼロになるか、またはゼロを分子とし有限数を分母とする分数になる。ゼロをゼロで割るとゼロになる」

830年マハーヴィーラはブラーマグプタの間違いを著書 『ガニタ・サーラ・サングラハ』で以下のように訂正しようとして失敗した。

「数はゼロで割っても変化しない」

バースカラ2世n0 = ∞ と定義することで問題を解決しようとした。この定義はある意味では正しいが、後述の「ゼロ除算と極限」に示す問題もあり、注意深く扱わないとパラドックスに陥る。このパラドックスは近年まで考察されなかった[1]

代数学的解釈

ゼロ除算を数学的に扱う自然な方法は、まず除算を他の算術操作で定義することで得られる。整数有理数実数複素数の一般的算術規則では、ゼロ除算は未定義である。の公理体系に従う数学的体系では、ゼロ除算は未定義のままとされなければならない。その理由は、除法乗法の逆演算として定義されているためである。つまり、ab の値は、bx = a という方程式を x について解いたときに値が一意に定まる場合のみ存在する。さもなくば、値は未定義のままとされる。

b = 0 のとき、方程式 bx = a は 0x = a または単に 0 = a と書き換えられる。つまりこの場合、方程式 bx = aa が 0 でないときには解がなく、a が 0 であれば任意の x が解となりうる。いずれにしても解は一意に定まらず、ab は未定義となる。逆に、においては abb がゼロでないとき常に一意に定まる。

ゼロ除算に基づく誤謬

ゼロ除算を代数学的記述に用いて、例えば以下のように 1 = 2 のような誤った証明を導くことができる。

以下を前提とする。

0 \times 1 = 0\quad
0 \times 2 = 0\quad

このとき、次が成り立つ。

0 \times 1 = 0 \times 2

両辺をゼロ除算すると、次のようになる。

\textstyle \frac{0}{0}\times 1 = \frac{0}{0}\times 2

これを簡約化すると次のようになる。

1 = 2\quad

この誤謬は、暗黙のうちに 00 = 1 であるかのように扱っていることから生じる。

上の証明が間違いであることは多くの人が気づくと思われるが、これをもっと巧妙に表現すると間違いを分かりにくくできる。例えば、1 を xy に置き換え、ゼロを xy、2 を x + y で置き換える。すると上記の証明は次のようになる。

(x-y)x = x^2-xy = 0
(x-y)(x+y) = x^2-y^2 = 0

したがって、

(x-y)x = (x-y)(x+y)

両辺を xy で割ると次のようになる。

x = x+y

x = y = 1 を代入すると、次のようになる。

1 = 2

解析学的解釈

ゼロ除算と極限

関数 y = 1/x のグラフ。x が 0 に近づくと、y は無限大に近づく。

直観的に a/0a/b で 正数b を 0 に漸近させたときの極限を考えることで定義されるように見える。

a が正の数の場合、次のようになる。

\lim_{b \to 0+} \frac{a}{b} =+\infty

a が負の数の場合、次のようになる。

\lim_{b \to 0+} \frac{a}{b} =-\infty

したがって、a が正のとき a/0 を +∞、a が負のとき −∞ と定義できるように思われる。しかし、この定義には2つの問題点がある。

第一に、正と負の無限大実数ではない。実数の範囲内で考えたい場合、この定義には意味がない。この定義を使いたければ、何らかの形で実数を拡張する必要がある。

第二に、右側から極限に漸近するのは恣意的である。左側から漸近して極限を求めた場合、a が正の場合に a0 が −∞ となり、a が負の場合に +∞ となる。これを等式で表すと次のようになる。

+\infty =\frac{1}{0} =\frac{1}{-0} =-\frac{1}{0} =-\infty

このように、+∞ と −∞ が等しいことになってしまい、これではあまり意味がない。これを意味のある拡張とするには、「符号のない無限大」という概念を導入するしかない。

実数に、正負の区別が有る、あるいは無い、無限大が含まれるように拡張したものが拡大実数である。アフィン拡大実数では区別が有り、射影拡大実数では区別が無い(無限遠点)。

物理学においてはブラックホールや宇宙の始まりを考察する際に質量/体積(密度)の体積が 0 となる特異点が発生するためゼロ除算による無限大発散の難問が生じている。この場合質量・体積は正であるため正の無限大への発散となる。

直接のゼロ除算以外では、三角関数の tan 90° などの計算においても、同様の問題が生じてしまう。

0/0 についても、極限

\lim_{(a,b)\to (0,0)} \frac{a}{b}

は存在しないため、うまく定義できない。さらに一般に、x が 0 に漸近すると共に f(x) も g(x) も 0 に漸近するとして、極限

\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)}

を考えても、これは任意の値に収束する可能性もあるし、収束しない可能性もある。したがって、この手法では 00 について意味のある定義は得られない。

リーマン球面

リーマン球面は、複素平面に無限遠点 ∞ の1点を付け加えて得られるもの C ∪ {∞} である。上記実射影直線(射影拡大実数)の複素数版とも考えられる。リーマン球面は複素解析において重要な概念であり、演算は例えば 1/0 = ∞、1/∞ = 0、などとなるが、∞+∞ や 0/0 は定義されない。

コンピュータにおけるゼロ除算

SpeedCrunchという電卓ソフトでゼロ除算を実行したときの様子。エラーが表示されている。

現在のほとんどのコンピュータでサポートされているIEEE 754 浮動小数点に関する標準規格では、全ての浮動小数点演算を定義している。ゼロ除算も例外ではなく、どういう値になるかが定義されている。IEEE 754の定義によれば、a/0 で a が正の数であれば、除算の結果は正の無限大となり、a が負の数であれば負の無限大となる。そして、a も 0 であった場合、除算結果は NaNnot a number、数でない)となる。IEEE 754 には −0 も定義されているため、0 の代わりに −0 で除算をした場合は、上述の符号が反転する。

整数のゼロ除算は通常、浮動小数点とは別に処理される。というのは整数ではゼロ除算の結果を表す方法がないためである。 多くのプロセッサは整数のゼロ除算を実行しようとすると例外を発生させる。この例外に対する対処がなされていない場合、ゼロ除算を実行しようとしたプログラムは強制終了(アボート)される。これは、ゼロ除算がエラーと解釈されるためで、エラーメッセージが表示されることも多い。

1997年、民生品の応用を研究していたアメリカ海軍タイコンデロガ級ミサイル巡洋艦ヨークタウンを改造して主機のガスタービンエンジンの制御にマイクロソフトソフトウェアを採用したが、試験航行中にデータベースのゼロ除算が発生してソフトウェアが例外を返し、結果として主機が停止、回復するまでカリブ海を2時間半ほど漂流する事態となっている[2]

ポップカルチャー

脚注

  1. ^ J J O'Connor and E F Robertson (2000年11月). “Zero”. 2008年11月16日閲覧。
  2. ^ “Sunk by Windows NT”. (1998年7月24日). http://www.wired.com/science/discoveries/news/1998/07/13987 2008年11月16日閲覧。 
  3. ^ oh shi-”. Urban Dicthionary. 2011年10月11日閲覧。
  4. ^ Chuck Norris can divide by zero”. Chuck Norris Facts. 2011年10月11日閲覧。

参考文献

関連項目

外部リンク

  • The Last Denominator - 「OH SHI-」を題材にしたショートフィルム。ゼロ除算をしようとした直後に地球が爆発する。

正の数と負の数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/05/23 17:36 UTC 版)

(12 から転送)

正の数(せいのすう、: positive number)とは、0より大きい実数である。負の数(ふのすう、: negative number)とは、0より小さい実数である。

定義

数学において負数はマイナス記号を数字の前につけて表されるが、簿記などでは数字を赤くしたり三角形を数字の前に付けることによって表すこともある。

は増減の無い状態であるため、正でも負でもない。負でない数 (non-negative number) とは零より小さくない、つまり零または正の実数である。正でない数 (non-positive number) とは零より大きくない、つまり零または負の実数である。

複素数の体系で考えている場合、そのうち実数についてのみ正負を論じ、虚数は正でも負でもないとされる。例えば「正の数」と言えば、それが実数であることを暗黙のうちに含意するが、明確化のために「正の実数」と言うこともできる。

一般に順序体において、零元より大きな元を正の元、零元より小さな元を負の元という。順序体ではない、例えば複素数体、有限体p 進数体においては、四則演算と両立する正負の概念を定義することができない。

負の数

負の整数は、方程式 xy = z がどんな xy に対しても、z に関する方程式として意味をもつように自然数の体系を拡張して得られるものだと考えられる。このような負の整数の捉え方と同様にして、負の有理数や負の実数も得られる。

負数は、温度のように目盛り上で零より低くなる値を記述するのに有用である。簿記においても、負債の表現に使用できる。簿記において、負債はしばしばい数字(赤字)や三角形を前に付けた数字によって表す。

負でない数

実数はゼロに等しいかそれより大きい(すなわち正であるかゼロである)ときかつそのときに限り、負でない。したがって負でない整数はゼロ以上の全ての整数であり、負でない実数はゼロ以上の全ての実数である。

実行列

行列Aについて、A負でないということを、Aのすべての成分が負でない、というふうに定めることができる。このとき、実行列のうちには正とも負とも言えないものもあることになる。また、行列Aについて、Aの全ての正方部分行列の行列式が負でないとき、Aのことを完全に非負(行列理論)あるいは、完全に正(コンピュータ科学者)と呼ぶことがある。

一方で、線形代数的な観点から、実対称行列やより一般に複素エルミート行列について、上とは異なった正負の概念がしばしば用いられる。エルミート行列Aは、その固有値の全てが負でないときに、負でない(あるいは単に、正である)とよばれる。Aが負でないということはある行列BについてAB*.Bと書けることと同値になる(行列の定値性も参照)。

関数

符号関数

定義域が実数であり、正数に対して1を、負数に対して−1を、ゼロに対して0を返す関数 sgn(x) を定義できる。この関数は符号関数と呼ばれることがある。

\sgn(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right.

このとき(x=0の場合を除き)以下の式が得られる。

\sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} = \frac{d{|x|}}{d{x}} = 2H(x)-1.

ここで |x| は x絶対値であり、H(x) はヘヴィサイドの階段関数である。微分法も参照。

複素符号関数

定義域が複素数であり、正数に対して1を、負数に対して-1を、ゼロに対して0を返す csgn(x) を定義できる 。この関数は複素符号関数と呼ばれることがある。

\operatorname{csgn}(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right.

複素数の大小は以下のように解釈する。


\begin{cases}
 x>0 \iff \operatorname{Re}(x) > 0 \vee (\operatorname{Re}(x) = 0 \land \operatorname{Im}(x) > 0) \\
 x<0 \iff \operatorname{Re}(x) < 0 \vee (\operatorname{Re}(x) = 0 \land \operatorname{Im}(x) < 0) \\
\end{cases}

符号付き数の算術演算

加算と減算

数列は、零・正数・負数の三種類が組み合わさって構成されており、基準点が零、基準点から増えている分が正数、基準点から減っている分が負数となる。

従って、加算減算では、負数は負債であり、正数は収益であると考えることができる。同じく、時間や世代の距離を数える場合にも、零は現在や自分、負数は過去や年上(親や祖父母など)、正数は未来や年下(子供や孫など)であると考えることもできる。

負数を加えることは、対応する正数を減ずることになる。逆に、負数を減ずることは、対応する正数を加えることになる。

Number-line.gif
9 − 5 = 4
(9歳年下の人物と5歳年下の人物は、4歳離れている。)
7 − (−2) = 9
(7歳年下の人物と2歳年上の人物は、9歳離れている。)
−4 + 12 = 8
(4歳年上の人物から12歳年下の人物は、自分の8歳年下である。)
5 + (−3) = 5 − 3 = 2
(¥5を持っていて¥3を借りたら、純資産は¥2である)
–2 + (−5) = −2 − 5 = −7

減算と負符号の概念の混乱を避けるため、負符号を上付きで書く場合もある(ただし、会計では負符号を△で表現する)。

2 + 5 = 2 − 5 = 7
△2 + △5 = △2 − 5 = △7

正数をより小さな正数から減ずると、結果は負となる。

4 − 6 = −2
(¥4を持っていて¥6を使ったら、負債¥2が残る)

正数を任意の負数から引くと、結果は負となる。

−3 − 6 = −9
(負債が¥3あってさらに¥6を使ったら、負債は¥9となる)

負数を減ずることは、対応する正数を加えることと等価である。

5 − (−2) = 5 + 2 = 7
(純資産¥5を持っていて負債を¥2減らしたら、新たな純資産は¥7となる)

別の例

−8 − (−3) = −5
(負債が¥8あって負債を¥3減らしたら、まだ¥5の負債が残る)

乗算

負数を掛けることは、正負の方向を逆転させることになる。負数に正数を掛けると、積は負数のままとなる。しかし、負数に負数を掛けると、積は正数となる。 [1]

(−20) × 3 = −60

(負債¥20を3倍にすれば、負債¥60になる。)

(−40) × (−2) = 80

(後方へ毎時40km進む車は、2時間前には現在地から前方へ80kmの位置にいた。)

これを理解する方法の1つは、正数による乗算を、加算の繰り返しと見なすことである。3 × 2 は各グループが2を含む3つのグループと考える。したがって、3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6 であり、当然 −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 である。

負数による乗算も、加算の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × −2は各グループが−2を含む3つのグループと考えられる。

3 × −2 = (−2) + (−2) + (−2) = −6

これは乗算の交換法則を満たすことに注意

3 × −2 = −2 × 3 = −6

「負数による乗算」と同じ解釈を負数に対しても適用すれば、以下のようになる。

−4 × −3  =   − (−4) − (−4) − (−4)
=  4 + 4 + 4
=  12

しかし形式的な視点からは、2つの負数の乗算は、積の和に対する分配法則によって直接得られる。

−1 × −1  =  (−1) × (−1) + (−2) + 2
=  (−1) × (−1) + (−1) × 2 + 2
=  (−1) × (−1 + 2) + 2
=  (−1) × 1 + 2
=  (−1) + 2
=  1

除算

除算も乗算と同じく、負数で割ることは、正負の方向を逆転させることになる。負数を正数で割ると、商は負数のままとなる。しかし、負数を負数で割ると、商は正数となる。

被除数と除数の符号が異なるなら、商は負数となる。

(−90) ÷ 3 = −30

(負債¥90を3人で分けると、負債¥30ずつ継承される。)

24 ÷ (−4) = −6

(東を正数、西を負数とする場合:4時間後に東へ24km地点に進む車は、4時間前には西へ6kmの位置にいる。)

両方の数が同じ符号を持つなら、商は(両方が負数であっても)正数となる。

(−12) ÷ (−3) = 4

累乗

累乗乗算除算と同じく、指数を正数にすると、「n乗」に倍増される。しかし、指数を負数にすると、「1 / n乗」に分割される。つまり、指数 n を正数にすると「n 回乗算を繰り返す」ことになるが、指数 n を負数にすると「n 回除算を繰り返す」ことになる。

33 = 27

(×3 ×3 ×3 = 27)

3−3 = 1/27

(÷3 ÷3 ÷3 = 1/27)

360 × 23 = 2880

(360 ×2 ×2 ×2 = 2880)

360 × 2−3 = 45

(360 ÷2 ÷2 ÷2 = 45)

負の整数と負でない整数の形式的な構成

有理数の場合と同様、整数を自然数の順序対 (a, b) (これは整数 ab を表していると考えることができる)を下に述べるようにして同一視したものとして定義することによって自然数の集合N整数の集合Zに拡張できる。これらの順序対に対する加法と乗法の拡張は以下の規則による。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

ここで以下の規則により、これらの順序対に同値関係 ~ を定義する。

(a, b) ~ (c, d) となるのは a + d = b + c なる場合、およびこの場合に限る

この同値関係は上記の加法と乗法の定義と矛盾せず、ZN2の ~ による商集合として定義できる。すなわち2つの順序対 (a, b) と (c, d) が上記の意味で同値であるとき同一視する。

さらに以下の通り全順序Zに定義できる。

(a, b) ≤ (c, d) となるのは a + db + c となる場合、およびこの場合に限る

これにより加法の零元が (a, a) の形式で、(a, b) の加法の逆元が (b, a) の形式で、乗法の単位元が (a + 1, a) の形式で導かれ、減法の定義が以下のように導かれる。

(a, b) − (c, d) = (a + d, b + c).

負の数の起源

長い間、問題に対する負の解は「誤り」であると考えられていた。これは、負数を実世界で見付けることができなかったためである(例えば、負数のリンゴを持つことはできない)。その抽象概念は早ければ紀元前100年紀元前50年には認識されていた。中国の『九章算術』には図の面積を求める方法が含まれている。赤い算木で正の係数を、黒い算木で負の係数を示し、負の数がかかわる連立方程式を解くことができた。紀元後7世紀ごろに書かれた古代インドの『バクシャーリー写本[2]は"+"を負符号として使い、負の数による計算を行っていた。これらが現在知られている最古の負の数の使用である。

プトレマイオス朝エジプトではディオファントス3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 (解は負となる)と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負数の概念がなかったことを示している。

7世紀の間に、負数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは『ブラーフマスプタ・シッダーンタ』(628年)において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負数とが関わる演算に関する規則も与えている。彼は正数を「財産」、零を「0 (cipher)」、負の数を「借金」と呼んだ[3][4]12世紀のインドで、バースカラ2世も二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切なものとして負の根を拒絶している。

8世紀以降、イスラム世界ブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年頃までには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。

負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。

しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』(1202年)の第13章で負数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負数を表した。ヨーロッパ人の著書で負数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。

イギリスの数学者フランシス・マセレス[2]1759年、負数は存在しないという結論に達した[5]

負数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負数が無限大より大きいと信じており(この見解はジョン・ウォリスと共通である)、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった[6]。負数が無限大より大きいという論拠は、\frac{1}{x} の商と、x が正の側から x = 0 の点に近づき、交差した時何が起きるかの考察によって生じている。

関連項目

脚注と参考文献

  1. ^ 「相対論の式を導いてみよう、そして、人に話そう」小笠英志 ベレ出版 ISBN-13: 978-4860642679 の PP.121-127にマイナス×マイナスがプラスになることの小学生も納得できる説明が書いてある。
  2. ^ Hayashi, Takao (2005), "Indian Mathematics", in Flood, Gavin, The Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, pp. 360-375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
  3. ^ Colva Roney-Dougal, Lecturer in Pure Mathematics at the University of St Andrews, stated this on the BBC Radio 4 "In Our Time", on Negative Numbers, 9 March 2006.
  4. ^ Knowledge Transfer and Perceptions of the Passage of Time, ICEE-2002 Keynote Address by Colin Adamson-Macedo. [1]
  5. ^ Maseres, Francis, 1731–1824. A dissertation on the use of the negative sign in algebra, 1758.
  6. ^ Alberto A. Martinez, Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton University Press, 2006; おもに1600年代から1900年代前半にかけての、負数に関する論争の歴史。

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