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三省堂三省堂

いちに 1 2 【一二】

(1)一つ二つ。わずか。若干。
「―反対意見もあった」

(2)第一位と第二位。
» (成句)一二に及ばず
» (成句)一二を争う

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12

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2012/02/09 02:42 UTC 版)

11 ← 12 → 13
素因数分解 22×3
二進法 1100
八進法 14
十二進法 10
十六進法 C
二十進法 C
ローマ数字 XII
漢数字 十二
大字 拾弐
算木 Counting rod h1.pngCounting rod v2.png
位取り記数法 十二進法

12（十二、じゅうに、とおあまりふたつ、twelve）とは、自然数、また整数において、11 の次で 13 の前の数である。英語の序数詞では、12th、twelfthとなる。ラテン語ではduodecim（ドゥオデキム）。

目次

性質

  • 12 は合成数であり、約数は 1, 2, 3, 4, 6 と 12 である。12 を除く約数の和は16 で過剰数。最小の過剰数である。
  • 1/12＝0.083333…（下線部は循環節。）
  • 12 の倍数は全て過剰数である。一般に過剰数の倍数もまた過剰数となる。
  • 4番目の高度合成数であり、1つ前は 6、次は 24。12 以上の高度合成数は全て過剰数になる。
  • 5番目の高度トーティエント数。1つ前は8、次は24。
  • 3 番目の五角数であり、3 * (3 * 3 - 1)/ 2 = 12。1つ前は 5、次は 22。
  • 3 番目の矩形数であり、3 * (3 + 1) = 12。1つ前は 6、次は 20。
  • 4番目のペル数である。1つ前は5、次は29。
  • 最小のサブライム数である。次は6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264。
  • 2桁の数では2番目のハーシャッド数である。1つ前は10、次は18。
  • 12 は 3 と 4 の積であり、12 = 3 × 4 と最初の自然数4つの連続となる。このような計算は次に 56 = 7 × 8 がある。
  • 12個の面を持つ立体図形は十二面体と呼ばれる。正十二面体は正八面体の次に面の数が少ない正多面体である。次に面の数が少ない正多面体は、面が20個の正二十面体である。因みに、正六面体及び正八面体の辺の数は12である。正二十面体の頂点の数は12であり、正十二面体とは双対多面体（双対）の関係である。
  • 球の周りには最大12個の同じ大きさの球を重ならずに接するように並べることができる（→接吻数問題）。
  • 12本の辺を持つ平面図形は十二角形である。正十二角形と正三角形で平面を敷き詰めることができる。
  • 正三十角形の中心角は12°である。
  • ペントミノは、全部で12種類ある。また、ヘキサモンドも全部で12種類ある。
  • 連続した階乗数の積である。1!×2!×3!=12
  • 12! - 1 = 479001599 であり、n! - 1 の形で素数を生む。
  • 九九では 2 の段で 2 × 6 = 12（にろくじゅうに）、3の段で 3 × 4 = 12（さんしじゅうに）、4 の段で4 × 3 = 12（しさんじゅうに）、6 の段で 6 × 2 = 12（ろくにじゅうに） と4通りの表し方がある。九九で 4 通りの表し方のある数は他に 6, 8, 18, 24 のみである。
  • 12! = 479001600 である。

その他 12 に関連すること

十二番目のもの

十二個一組のもの

12に関連する団体・作品

関連項目

2桁までの自然数
(0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
  • 斜体で表した数は素数である。

1/2

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2011/04/30 04:24 UTC 版)

曖昧さ回避 この項目では、有理数の1/2について記述しています。その他の用法については「1/2 (曖昧さ回避)」をご覧ください。

\tfrac{1}{2}（2分の1、にぶんのいち）は、有理数のうち 0 と 1 の間にある数であり、2 の逆数である。

目次

数学的性質

\sin {\frac{\pi}{6}} = \sin {{\frac{5}{6}}\pi} = \frac{1}{2}、 \cos {\frac{\pi}{3}} = \cos {{\frac{5}{3}}\pi} = \frac{1}{2}

となる（0 < θ < 2π）。したがって

\sin^{-1} {\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{6}、\cos^{-1} {\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{3}

である。なお

\tan^{-1}\frac{1}{2} = 0.46364760900080611621... である。
  • 1 から n までの自然数の和は \frac{1}{2} n(n+1) に等しい（→三角数）。
  • 三角形の面積 S を求める公式は S = 1⁄2×（底辺）×（高さ）である。あるいは三角形の 2 本の辺の長さを a, b とし、それらがなす角を θ とすると
S = \frac{1}{2} ab \sin{\theta}

と表せる。

その他 1/2 に関すること

  • 全体に占める割合が \tfrac{1}{2} の物を、日本語では半分という。
  • 日本語では、父母のうち 1 人が外国人である人をハーフという。half-blooded の略。民族などが異なる血が \tfrac{1}{2} 流れている人という意味である。
  • 量子力学では電子のスピン量子数は +\tfrac{1}{2} もしくは -\tfrac{1}{2} に限られる。
  • 起こりうる結果が 2 通りだけで、それらの起こる確率が共に \tfrac{1}{2} に十分近い時、「○○の確率は五分五分」ということがある。

符号位置

記号 Unicode JIS X 0213 文字参照 名称
½ U+00BD 1-9-20 &frac12;
&#xBD;
&#189;		 2分の1

関連項目

表・話・編・歴
1/n
… 1/0 • 1/1 • 1/2 • 1/3 • 1/4 • 1/5 • 1/6 • 1/7 • 1/8 • 1/9 • 1/10 …
表・話・編・歴
2n = 2の冪乗
… 1/8 • 1/4 • 1/2 • 1 • 2 • 4 • 8 • 16 • 32 • 64 • 128 • 256 • 512 • 1024 • 2048 • 4096 ・ 8192 ・ 16384 ・ 32768 • 65536 … 16777216 … 4294967296 …
表・話・編・歴
n / 10
0/10 • 1/10 • 2/10 • 3/10 • 4/10 • 5/10 • 6/10 • 7/10 • 8/10 • 9/10 • 10/10

12+

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2011/07/24 08:45 UTC 版)

12+
発売元 アニゼッタ
発売日 2011年3月31日
価格 9,240円(税込)
ジャンル 魔術師の掌で踊らされる恋愛ADV
レイティング 18禁

『12+』（トゥエルブプラス）は2011年3月31日にアニゼッタより発売された18禁のパソコンゲーム（アダルトゲーム）ソフトである。

登場人物

ランスロット
声:桃也みなみ
トリスタン
声:鈴谷まや
ガウェイン
声:渋谷ひめ
ケイ
声:藍川珪
マーリン
声:霧島はるな
ティオ
声:島田友樹

スタッフ

  • 原画 - ツキトジ
  • シナリオ - 狐月
  • BGM - アメディオ
  • 主題歌 - ひうらまさこ

外部リンク

執筆の途中です この「12+」は、アダルトゲームに関連したまだ閲覧者の調べものの参考としては役立たない書きかけ項目です。加筆・訂正が可能でしょうか（ゲームCP/美少女ゲーム系PJ/性PJ）。項目削除の対象であることもあります。

ゼロ除算

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2012/01/25 17:14 UTC 版)

(12 から転送)

ゼロ除算（ゼロじょざん、division by zero）は、0 で除す割り算のことである。このような除算は除される数を a とするならば、形式上は a⁄0 と書くことができるが、数学において、この式と何らかの意味のある値とが結び付けられるかどうかは、数学的な設定にまったく依存している話である。少なくとも通常の実数の体系とその算術においては、意味のある式ではない。

計算機プログラミングで整数のゼロ除算が行われると、プログラムの終了を引き起こすかもしれないし、浮動小数点数における場合と同様に、数ではない特殊値を返すかもしれない。

目次

算数的解釈

算数レベルでは、除算は何らかの物の集合をそれぞれ同数になるように分けることで説明される。例えば、10個のリンゴを5人で分ける場合、各人は 10⁄5 = 2個のリンゴを受け取ることになる。同様に、10個のリンゴを1人で分ける場合、各人は 10⁄1 = 10個のリンゴを受け取る。

この考え方を使ってゼロ除算を説明できる。10個のリンゴを0人で分けるとする。各人は何個のリンゴを受け取るだろうか? 10⁄0 を計算しようとしても、元の設問自体が無意味なので無意味となる。この場合、各人が受け取る個数は、0個でも、10個でも、無限個でもない。なぜなら、元々受け取るべき人はいないからである。以上のように算数レベルで考える場合、ゼロ除算は無意味または未定義となる。

ゼロ除算の未定義性を理解する別の方法として、減法の繰り返し適用という考え方がある。すなわち、13 割る 5 を考えるとき、13 から 5 を繰り返し引き算していき、余りが 3 となる。除数を余りが除数より少なくなるまで繰り返し引くのである。結果は 13⁄5 = 2 あまり 3 などと記される。ゼロ除算の場合、ゼロを何度引いても余りがゼロより小さくなることはないため、無限に減法を繰り返すだけとなる。

初期の試み

ブラーマグプタ（598年 – 668年）の著書 Brahmasphutasiddhanta では、0 を数として定義し、その演算結果も定義している。しかし、ゼロ除算の説明は間違っていた。彼の定義に従うと代数的不合理が生じることを簡単に証明できる。ブラーマグプタによれば、次の通りである。

「正または負の数をゼロで割ると、分母がゼロの分数となる。ゼロを正または負の数で割ると、ゼロになるか、またはゼロを分子とし有限数を分母とする分数になる。ゼロをゼロで割るとゼロになる」

830年、Mahavira はブラーマグプタの間違いを著書 Ganita Sara Samgraha で以下のように訂正しようとして失敗した。

「数はゼロで割っても変化しない」

バースカラ2世は n⁄0 = ∞ と定義することで問題を解決しようとした。この定義はある意味では正しいが、注意深く扱わないとパラドックスに陥る。このパラドックスは近年まで考察されなかった[1]。

代数学的解釈

ゼロ除算を数学的に扱う自然な方法は、まず除算を他の算術操作で定義することで得られる。整数、有理数、実数、複素数の一般的算術規則では、ゼロ除算は未定義である。体の公理体系に従う数学的体系では、ゼロ除算は未定義のままとされなければならない。その理由は、除法が乗法の逆演算として定義されているためである。つまり、a⁄b の値は、bx = a という等式を x について解いたときに値が一意に定まる場合のみ存在する。さもなくば、値は未定義のままとされる。

b = 0 のとき、等式 bx = a は 0x = a または単に 0 = a と書き換えられる。つまりこの場合、等式 bx = a は a が 0 でないときには解がなく、a が 0 であれば任意の x が解となりうる。いずれにしても解は一意に定まらず、a⁄b は未定義となる。逆に、体においては a⁄b は b がゼロでないとき常に一意に定まる。

ゼロ除算に基づく誤謬

ゼロ除算を代数学的記述に用いて、例えば以下のように 1 = 2 のような誤った証明を導くことができる。

以下を前提とする。

0 \times 1 = 0\quad
0 \times 2 = 0\quad

このとき、次が成り立つ。

0 \times 1 = 0 \times 2

両辺をゼロ除算すると、次のようになる。

\textstyle \frac{0}{0}\times 1 = \frac{0}{0}\times 2

これを簡約化すると次のようになる。

1 = 2\quad

この誤謬は、暗黙のうちに 0⁄0 = 1 であるかのように扱っていることから生じる。

上の証明が間違いであることは多くの人が気づくと思われるが、これをもっと巧妙に表現すると間違いを分かりにくくできる。例えば、1 を x に置き換え、ゼロを x − x、2 を x + x で置き換える。すると上記の証明は次のようになる。

(x − x)x = x2 − x2 = 0
(x − x)(x + x) = x2 − x2 = 0

したがって、

(x − x)x = (x − x)(x + x)

両辺を x − x で割ると次のようになる。

x = x + x

そして、両辺を x で割ると、次のようになる。

1 = 2

ゼロ除算と極限

関数 y = \textstyle\frac{1}{x} のグラフ。x が 0 に近づくと、y は無限大に近づく。

直観的に a⁄0 は a⁄b で b を 0 に漸近させたときの極限を考えることで定義されるように見える。

a が正の数の場合、次のようになる。

\lim_{b \to 0^{+}} {a \over b} = {+}\infty

a が負の数の場合、次のようになる。

\lim_{b \to 0^{+}} {a \over b} = {-}\infty

したがって、a が正のとき a⁄0 を +∞、a が負のとき −∞ と定義できるように思われる。しかし、この定義には2つの問題点がある。

第一に、正と負の無限大は実数ではない。実数の範囲内で考えたい場合、この定義には意味がない。この定義を使いたければ、何らかの形で実数を拡張する必要がある。

第二に、右側から極限に漸近するのは恣意的である。左側から漸近して極限を求めた場合、a が正の場合に a⁄0 が −∞ となり、a が負の場合に +∞ となる。これを等式で表すと次のようになる（実数に無限大が含まれるように拡張したものとする）。

+\infty = \frac{1}{0} = \frac{1}{-0} = -\frac{1}{0} = -\infty

これではあまり意味がない。これを意味のある拡張とするには、符号のない無限大という概念を導入するしかない。物理学においてはブラックホールや宇宙の始まりを考察するさいに質量/体積の体積が0となる特異点が発生するためゼロ除算による無限大発散の難問が生じている。この場合質量･体積は正であるため正の無限大への発散となる。

0⁄0 についても、極限

\lim_{(a,b) \to (0,0)} {a \over b}

は存在しないため、うまく定義できない。さらに一般に、x が 0 に漸近すると共に f(x) も g(x) も 0 に漸近するとして、極限

\lim_{x \to 0} {f(x) \over g(x)}

を考えても、これは任意の値に収束する可能性もあるし、収束しない可能性もある。したがって、この手法では 0⁄0 について意味のある定義は得られない。

コンピュータにおけるゼロ除算

SpeedCrunchという電卓ソフトでゼロ除算を実行したときの様子。エラーが表示されている。

現在のほとんどのコンピュータでサポートされているIEEE 754 浮動小数点に関する標準規格では、全ての浮動小数点演算を定義している。ゼロ除算も例外ではなく、どういう値になるかが定義されている。IEEE 754の定義によれば、a/0 で a が正の数であれば、除算の結果は正の無限大となり、a が負の数であれば負の無限大となる。そして、a も 0 であった場合、除算結果は NaN（not a number、数でない）となる。IEEE 754 には −0 も定義されているため、0 の代わりに −0 で除算をした場合は、上述の符号が反転する。

整数のゼロ除算は通常、浮動小数点とは別に処理される。というのは整数ではゼロ除算の結果を表す方法がないためである。 多くのプロセッサは整数のゼロ除算を実行しようとすると例外を発生させる。この例外に対する対処がなされていない場合、ゼロ除算を実行しようとしたプログラムは強制終了（アボート）される。これは、ゼロ除算がエラーと解釈されるためで、エラーメッセージが表示されることも多い。

1997年、民生品の応用を研究していたアメリカ海軍はタイコンデロガ級ミサイル巡洋艦ヨークタウンを改造して主機のガスタービンエンジンの制御にマイクロソフト社のソフトウェアを採用したが、試験航行中にデータベースのゼロ除算が発生してソフトウェアが例外を返し、結果として主機が停止、回復するまでカリブ海を2時間半ほど漂流する事態となっている[2]。

ポップカルチャー

  • "OH SHI-"―ゼロ除算がコンピュータや電卓でエラーを引き起こす様を宇宙の終焉などに結びつけた英語の口語表現。最後まで言い切る前に宇宙は破壊されてしまう[3]。
  • テッド・チャンの短篇に Division by Zero（ゼロで割る）という題名のものがある。
  • ジョーク「チャック・ノリスはゼロ除算ができる」[4]

外部リンク

The Last Denominator「OH SHI-」を題材にしたショートフィルム。ゼロ除算をしようとした直後に地球が爆発する。一般非公開。

脚注

  1. ^ J J O'Connor and E F Robertson (2000年11月). “Zero”. 2008年11月16日閲覧。
  2. ^ “Sunk by Windows NT”. (1998年7月24日). http://www.wired.com/science/discoveries/news/1998/07/13987 2008年11月16日閲覧。 
  3. ^ “oh shi-”. Urban Dicthionary. 2011年10月11日閲覧。
  4. ^ “Chuck Norris can divide by zero”. Chuck Norris Facts. 2011年10月11日閲覧。

参考文献

関連項目

正の数と負の数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2011/06/15 15:23 UTC 版)

(12 から転送)

正の数（せいのすう、positive number）とは、0より大きい実数である。負の数（ふのすう、negative number）とは、0より小さい実数である。数学において負の数はマイナス記号を数字の前につけて表されるが、簿記などにおいて数字を赤くしたり括弧でくくることによって表すこともある。

ゼロ自身は正でも負でもない。負でない数とはゼロより小さくない（つまり、正かゼロの）実数である。正でない数とはゼロより大きくない（つまり、負かゼロの）実数である。

複素数の体系で考えている場合、そのうち実数についてのみ正負を論じ、虚数は正でも負でもないとされる。例えば「正の数」と言えば、それが実数であることを暗黙のうちに含意するが、明確化のために「正の実数」と言うこともできる。

一般に順序体において、零元より大きな元を正の元、零元より小さな元を負の元という。順序体ではない体、例えば複素数体、有限体、p 進数体においては、四則演算と両立する正負の概念を定義することができない。

目次

負の数

負の整数は、方程式 x − y = z がどんな x と y に対しても、 zに関する方程式として意味をもつように自然数の体系を拡張して得られるものだと考えられる。このような負の整数の捉え方と同様にして、負の有理数や負の実数も得られる。

負の数は、温度のように目盛り上でゼロより低くなる値を記述するのに役立つ。簿記においても、負債の表現に使用できる。簿記において、負債はしばしば赤い数字や括弧でくくった数字によって表す。

負でない数

実数はゼロに等しいかそれより大きい（すなわち正であるかゼロである）ときかつそのときに限り、負でない。したがって負でない整数はゼロ以上の全ての整数であり、負でない実数はゼロ以上の全ての実数である。

行列の正負

実行列Aについて、Aが負でないということを、Aのすべての成分が負でない、というふうに定めることができる。このとき、実行列のうちには正とも負とも言えないものもあることになる。また、実行列Aについて、Aの全ての正方部分行列の行列式が負でないとき、Aのことを完全に非負（行列理論）あるいは、完全に正（コンピュータ科学者）と呼ぶことがある。

一方で、線形代数的な観点から、実対称行列やより一般に複素エルミート行列について、上とは異なった正負の概念がしばしば用いられる。エルミート行列Aは、その固有値の全てが負でないときに、負でない（あるいは単に、正である）とよばれる。Aが負でないということはある行列BについてAが B*.Bと書けることと同値になる。

符号関数

定義域が実数であり、正の数に対して1を、負の数に対して−1を、ゼロに対して0を返す関数 sgn(x) を定義できる。この関数は符号関数と呼ばれることがある。

\sgn(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right.

このとき（x=0の場合を除き）以下の式が得られる。

\sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} = \frac{d{|x|}}{d{x}} = 2H(x)-1.

ここで |x| は x の絶対値であり、H(x) はヘヴィサイドの階段関数である。微分法も参照。

複素符号関数

定義域が複素数であり、正の数に対して1を、負の数に対して-1を、ゼロに対して0を返す csgn(x) を定義できる 。この関数は複素符号関数と呼ばれることがある。

\operatorname{csgn}(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right.

複素数の大小は以下のように解釈する。

\begin{cases} x>0 \iff \operatorname{Re}(x) > 0 \vee (\operatorname{Re}(x) = 0 \land \operatorname{Im}(x) > 0) \\ x<0 \iff \operatorname{Re}(x) < 0 \vee (\operatorname{Re}(x) = 0 \land \operatorname{Im}(x) < 0) \\ \end{cases}

符号付き数の算術演算

加法と減法

加法と減法の目的では、負の数は負債と考えることができる。

負の数を加えることは対応する正の数を引くことに等しい。

5 + (−3) = 5 − 3 = 2
（¥5を持っていて¥3を借りたら、純資産は¥2である）
–2 + (−5) = −2 − 5 = −7

減算と負符号の概念の混乱を避けるため、負符号はしばしば上付きで書かれる。

−2 + −5 = −2 − 5 = −7

正の数をより小さな正の数から引くと、結果は負となる。

4 − 6 = −2
（¥4を持っていて¥6を使ったら、負債¥2が残る）

正の数を任意の負の数から引くと、結果は負となる。

−3 − 6 = −9
（負債が¥3あってさらに¥6を使ったら、負債は¥9となる）

負の数を引くことは対応する正の数を加えることと等価である。

5 − (−2) = 5 + 2 = 7
（純資産¥5を持っていて負債を¥2減らしたら、新たな純資産は¥7となる）

別の例

−8 − (−3) = −5
（負債が¥8あって負債を¥3減らしたら、まだ¥5の負債が残る）

乗法

負の数に正の数を掛けると、積は負となり、2つの負の数を掛けると、積は正となる。

−2 × 3 = −6
−4 × −3 = 12

これを理解する方法の1つは、正の数による乗法を加法の繰り返しと見なすことである。3 × 2 は各グループが2を含む3つのグループと考える。したがって、3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6 であり、当然 −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 である。

負の数による乗法も加法の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × −2は各グループが−2を含む3つのグループと考えられる。

3 × −2 = (−2) + (−2) + (−2) = −6

これは乗法の交換法則を満たすことに注意

3 × −2 = −2 × 3 = −6

「負の数による乗法」と同じ解釈を負の数に対しても適用すれば、以下のようになる。

−4 × −3  =   − (−4) − (−4) − (−4)
=  4 + 4 + 4
=  12

しかし形式的な視点からは、2つの負の数の乗法は積の和に対する分配法則によって直接得られる。

−1 × −1  =  (−1) × (−1) + (−2) + 2
=  (−1) × (−1) + (−1) × 2 + 2
=  (−1) × (−1 + 2) + 2
=  (−1) × 1 + 2
=  (−1) + 2
=  1

除法

除法は乗法に似ている。被除数と除数の符号が異なるなら、商は負となる。

8 / −2 = −4
−10 / 2 = −5

両方の数が同じ符号を持つなら、商は（両方が負であっても）正となる。

−12 / −3 = 4

負の整数と負でない整数の形式的な構成

有理数の場合と同様、整数を自然数の順序対 (a, b) （これは整数 a − b を表していると考えることができる）を下に述べるようにして同一視したものとして定義することによって自然数の集合Nを整数の集合Zに拡張できる。これらの順序対に対する加法と乗法の拡張は以下の規則による。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

ここで以下の規則により、これらの順序対に同値関係 ~ を定義する。

(a, b) ~ (c, d) となるのは a + d = b + c なる場合、およびこの場合に限る

この同値関係は上記の加法と乗法の定義と矛盾せず、ZをN2の ~ による商集合として定義できる。すなわち2つの順序対 (a, b) と (c, d) が上記の意味で同値であるとき同一視する。

さらに以下の通り全順序をZに定義できる。

(a, b) ≤ (c, d) となるのは a + d ≤ b + c となる場合、およびこの場合に限る

これにより加法の零元が (a, a) の形式で、(a, b) の加法の逆元が (b, a) の形式で、乗法の単位元が (a + 1, a) の形式で導かれ、減法の定義が以下のように導かれる。

(a, b) − (c, d) = (a + d, b + c).

負の数の起源

長い間、問題に対する負の解は「誤り」であると考えられていた。これは負の数を実世界で見付けることができなかったためである（例えば、負の数のリンゴを持つことはできない）。その抽象概念は早ければ紀元前100年 – 紀元前50年には認識されていた。中国の『九章算術』には図の面積を求める方法が含まれている。赤い算木で正の係数を、黒い算木で負の係数を示し、負の数がかかわる連立方程式を解くことができた。紀元後7世紀ごろに書かれた古代インドの『バクシャーリー写本』[1]は"+"を負符号として使い、負の数による計算を行っていた。これらが現在知られている最古の負の数の使用である。

プトレマイオス朝エジプトではディオファントスが3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 （解は負となる）と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負の数の概念がなかったことを示している。

7世紀の間に、負の数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは『ブラーフマスプタ・シッダーンタ』（628年）において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負の数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負の数とゼロがかかわる演算に関する規則も与えている。彼は正の数を「財産」、ゼロを「0 (cipher)」、負の数を「借金」と呼んだ[2][3]。12世紀のインドで、バースカラ2世も二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切なものとして負の根を拒絶している。

8世紀以降、イスラム世界はブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年頃までには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。

負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。

しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負の数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』（1202年）の第13章で負の数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負の数を表した。ヨーロッパ人の著書で負の数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負の数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。

イギリスの数学者フランシス・マセレス[2]は1759年、負の数は存在しないという結論に達した[4]。

負の数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負の数が無限大より大きいと信じており（この見解はジョン・ウォリスと共通である）、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった[5]。負の数が無限大より大きいという論拠は、\frac{1}{x} の商と、x が正の側から x = 0 の点に近づき、交差した時何が起きるかの考察によって生じている。

関連項目

脚注と参考文献

  1. ^ Hayashi, Takao (2005), "Indian Mathematics", in Flood, Gavin, The Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, pp. 360-375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
  2. ^ Colva Roney-Dougal, Lecturer in Pure Mathematics at the University of St Andrews, stated this on the BBC Radio 4 "In Our Time", on Negative Numbers, 9 March 2006.
  3. ^ Knowledge Transfer and Perceptions of the Passage of Time, ICEE-2002 Keynote Address by Colin Adamson-Macedo. [1]
  4. ^ Maseres, Francis, 1731–1824. A dissertation on the use of the negative sign in algebra, 1758.
  5. ^ Alberto A. Martinez, Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton University Press, 2006; おもに1600年代から1900年代前半にかけての、負の数に関する論争の歴史。

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