Group theory

ウィキペディア

群論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/04/05 14:08 UTC 版)

代数的構造 → 群論 群論
基本概念 部分群 正規部分群 商群 （半）直積 群準同型 核 像 直和 リース積 単純 有限 無限 連続 乗法 加法 巡回 アーベル 二面体 冪零 可解 群論の用語 群論のトピックス一覧
有限群 有限単純群の分類 巡回 交代 自明 リー型 散在 コーシーの定理 ラグランジュの定理 シローの定理 ホールの定理 p 群 基本アーベル群 フロベニウス群 シューア乗数 対称群 Sn クラインの四元群 V 二面体群 Dn 四元数群 Q8 二重巡回群 Dicn
離散群 格子 整数 (Z) 格子 モジュラー群 PSL(2, Z) SL(2, Z)
位相 / リー群 ソレノイド 円周 一般線型 GL(n) 特殊線型 SL(n) 直交 O(n) ユークリッド E(n) 特殊直交 SO(n) ユニタリ U(n) 特殊ユニタリ SU(n) 斜交 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 ローレンツ ポアンカレ 共形 微分同相 ループ 無限次元リー群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)
代数群 楕円曲線 線型代数群 アーベル多様体
表 話 編 歴

群論（ぐんろん、英語: group theory）とは、群と呼ばれる代数的構造を研究する数学の一分野である。群とは、集合に結合的な演算が定義され、単位元と逆元の存在が保証された構造のことであり、抽象代数学における最も基本的かつ中心的な概念の一つである。

環・体・ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群とみなすことができる。群論の方法は代数学の大部分に強い影響を与えている。

線形代数群とリー群の理論は群論の一分野であり、特に発展を遂げて独自の適用範囲を持っている。

結晶や、分子などの構造の多くは、点群で表現できる。このように、群論は、物理学や化学の中に多くの実例・応用例がある。

1950年代から2000年代にかけて発表された総計1万ページを超える論文によって、完全な有限単純群の分類が達成された（当初1983年に完了が宣言されたが、一部のギャップが埋められたのは2004年である）。これは数百人に及ぶ数学者の共同作業によって成し遂げられた大規模なプロジェクトであり、20世紀の数学における主要な達成の一つである。

研究史

群論は、歴史的に3つの源泉がある。数論、代数方程式論、幾何学である。数論の系統は、オイラーに始まり、ガウスの合同式の理論、および二次体に関係した加法群・乗法群の研究によって発展した。

置換群に関する初期の研究成果は、ラグランジュ、ルフィニ、アーベルらの、代数方程式の一般解の研究の過程で得られた。

1830年代、エヴァリスト・ガロアは、代数方程式の可解性の判定に群を導入し、「群」という用語を初めて使用した。この業績により、初期の群論と体論が結び付けられ、ガロア理論の基礎が築かれた。アーサー・ケイリーとオーギュスタン＝ルイ・コーシーはこの研究を大きく発展させ、置換群の理論の基礎を確立した。

歴史的な2番目の源泉としては、幾何学方面からの流れがある。群はまず射影幾何学で、のちに非ユークリッド幾何学で重要になった。フェリックス・クラインはエルランゲン・プログラムにおいて、可能な幾何学（ユークリッド幾何学、双曲幾何学、射影幾何学）を群論を用いて体系化し、群論が幾何学の原理を統合するものになることを予言した。

1884年、ソフス・リーは群（現在リー群として知られている）を解析的問題に適用した。 三番目に、群は（最初は暗黙的に、後に明示的に）代数的整数論に用いられた。

これら初期の源流では、観点が違っていたので、そのため群に対する観念も違ったものとなっていた。 1880年頃から群の理論の統合がなされてくる。 そして、群論の影響はますます増大し、20世紀初期には抽象代数学、表現論など多くの派生分野が成立した。 有限単純群の分類は、20世紀中頃より膨大な量の研究がなされ、ついに完成に至った。

群の主なクラス

群の範囲は、有限置換群や行列群の特殊な例から、生成系と基本関係で表示される抽象群まで、いくつかのクラスに分かれていると考えることができる。

置換群

初めて系統的な研究のなされた群のクラスは置換群である。 任意の集合 X と、X からそれ自身への全単射（置換とも呼ばれる）の集まり G で合成と反転に関して閉じているようなものが与えられたとき、G は X に作用する群であるという。

X がn 個の元からなり、G が置換全体からなるならば、G は n-次対称群 S_n と呼ばれる。 一般の置換群 G は X の対称群のある部分群となっているものをいう。 ケイリーによる初期の構成では、 任意の群は（左正則表現の意味で）X = G として自分自身に作用する置換群として提示された。

多くの場合、置換群の構造は対応する集合への作用の性質を用いて調べられる。 例えば、n ≥ 5 に対する交代群 A_n は単純群である。 つまり、自明でない真の正規部分群を持たない。A_n が単純であるという事実は、高次一般代数方程式の根の冪根による表示の不可能性において重要な役割を果たす。

行列群

次に重要な群のクラスは行列群あるいは線型代数群と呼ばれるものである。ここでは群 G は体 K 上の与えられたサイズの正則行列からなる集合で、積と逆をとる操作について閉じているようなものである。そのような群は n-次元ベクトル空間 Kⁿ に線型変換として作用する。この作用により、行列群は概念的には置換群とよく似たものとなり、また作用の幾何学は群 G の性質を示すのに最大限有効に利用することができる。

変換群

置換群や行列群は、群が空間 X にその内在的な構造を保つように作用するという、変換群の概念の特別の場合である。置換群では X は集合であり、群作用は集合の元の並べ替えとして実現される。行列群では X はベクトル空間であり、群作用は線型変換として実現される。このように変換群の概念は、異なる種類の数学的対象（集合、ベクトル空間、多様体など）に作用する群を統一的に扱う枠組みを提供する。変換群の概念は対称変換群（あるいは「対称性の群」）の概念に近い関係にある。変換群というとある構造を保つ変換「全体」の成す群を意味することが多い。

変換群の理論は群論と微分幾何学とを結びつける橋渡しの役割を果たすものである。多様体上の同相あるいは微分同相としての群作用の考察は、リーおよびクラインに始まり、膨大な研究がなされている。ここで扱う群それ自体は、離散群かもしれないし連続群となるかもしれない。

抽象群

群論の発展の初期段階では、群としては、数、置換、行列などによって実現される「具体的」なものばかりが考察の対象であった。しかし、これらの異なる具体例に共通する代数的構造を抽出し、統一的に扱う必要性が認識されるようになり、特定の公理系を満たす演算を備えた集合としての「抽象群」の概念が根付き始めるのは、19世紀後半になってからのことである。抽象群を特定する典型的な方法のひとつは、生成元と基本関係による表示

$G=\langle S\mid R\rangle$

自由階数 2 の自由群 ⟨ x, y ∣ ⟩ のケイリーグラフ

幾何学的群論とは、語の問題や同型問題といった問題に対して、群を幾何学的対象として見たり、群が作用する適当な幾何学的対象を求めるといったような幾何学的な視点から解決を試みるものである。前者の方法としては、群の元を頂点とし、右からの乗法によって写りあう元を辺で結んだケイリーグラフがある。二つの元が与えられれば、それらの元を結ぶ最短経路の長さとして語の距離が定義できる。後者のやり方として、ミルナーとアルベルト・シュヴァルツ による定理（ミルナー・シュヴァルツの補題）がある。これは、（コンパクト多様体のような）距離空間 X に適当な方法で作用する群 G が与えられれば、群 G は空間 X に擬等長 (quasi-isometric) であるというものである。

群の表現

群 G が集合 X に作用するとは、G の各元が、X 上定義された全単射で群構造と両立するものを定めることをいう。ただし、X にさらに構造が入っているときは、それに応じて表現の概念に制限を加えるほうが有効である。例えばよくある状況として、群 G のベクトル空間 V における（または V を表現空間とする）表現（線型表現）とは、GL(V) を V 上の正則線型変換全体の成す群として、群準同型

$\rho \colon G\to GL(V)$

トーラスのアーベル群的な構造は以下の写像で表される。 C → C/(Z+τZ), τ はパラメータである。

巡回群 Z/26 はシーザー暗号の基礎となっている。

代数幾何学は暗号理論と同様に、様々なところに群論が使われる。アーベル多様体は、群作用の存在によって、詳細な調査が可能になる。一次元の場合では、楕円曲線が詳細に研究されている。これらは理論的にも応用的にも興味深いものである。楕円曲線暗号では、非常に大きな素数位数の群が構成され、公開鍵暗号として役に立っている。

代数的整数論もまた、群論が重要な役割を果たす分野である。たとえば、ゼータ関数のオイラー積表示

$\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p:{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

五度圏は巡回群の構造を与える。

自然科学における応用

• 物理学においては、群は物理法則の持つ対称性を記述するために使われる。物理学者は、群の表現、特にリー群の表現に興味を持っている。なぜならそれはしばしば、「可能な」物理法則を指し示すからである。物理における群論の応用には、たとえば標準模型、ゲージ理論、ローレンツ群、ポアンカレ群などがある。
• 化学、材料科学においては、群はおもに結晶構造や分子対称性を分類するのに使われる。構造に対応した点群により、物理的な性質（極性やキラリティ）や分子軌道を決定できる（ラマン分光法や赤外分光法も参照）。分子の対称性は、化合物の多くの物理的・分光学的特性に関与しており、分子の対称性により化学反応がどのように起こるかを予想できる。例えば、水分子は回転対称軸と鏡映面を持つため、C_2v という点群に属する。

その他の応用

五度圏には位数12の巡回群が現れる。

参考文献

洋書

• Borel, Armand (1991), Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, 126 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012 
• Carter, Nathan C. (2009), Visual group theory, Classroom Resource Materials Series, en:Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-757-1, MR 2504193, http://web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/ 
• Cannon, John J. (1969), “Computers in group theory: A survey”, Communications of the Association for Computing Machinery 12: 3–12, doi:10.1145/362835.362837, MR 0290613 
• Frucht, R. (1939), “Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe”, Compositio Mathematica 6: 239–50, ISSN 0010-437X, http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 
• Golubitsky, Martin; Stewart, Ian (2006), “Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 43: 305--364, doi:10.1090/S0273-0979-06-01108-6, MR 2223010  Shows the advantage of generalising from group to en:groupoid.
• Judson, Thomas W. (1997), Abstract Algebra: Theory and Applications, http://abstract.ups.edu  An introductory undergraduate text in the spirit of texts by Gallian or Herstein, covering groups, rings, integral domains, fields and Galois theory. Free downloadable PDF with open-source GFDL license.
• Kleiner, Israel (1986), “The evolution of group theory: a brief survey”, en:Mathematics Magazine 59 (4): 195–215, ISSN 0025-570X, MR 863090 
• La Harpe, Pierre de (2000), Topics in geometric group theory, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-31721-2 
• Livio, M. (2005), The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry, Simon & Schuster, ISBN 0-7432-5820-7  Conveys the practical value of group theory by explaining how it points to symmetries in physics and other sciences.
• Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290 
• Ronan M., 2006. Symmetry and the Monster. Oxford University Press. ISBN 0-19-280722-6. For lay readers. Describes the quest to find the basic building blocks for finite groups.
• Rotman, Joseph (1994), An introduction to the theory of groups, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8  A standard contemporary reference.
• Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. (2001), Combinatorial group theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41158-1 
• Scott, W. R. (1987) [1964], Group Theory, New York: Dover, ISBN 0-486-65377-3  Inexpensive and fairly readable, but somewhat dated in emphasis, style, and notation.
• Shatz, Stephen S. (1972), Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, MR 0347778 
• Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, OCLC 36131259, MR 1269324 
• Hamermesh, Morton (1962). Group Theory and Its Application to Physical Problems, Addison-Wesley Publishing.
• Gorenstein, D. (1983), The classification of finite simple groups. Vol. 1. Groups of noncharacteristic 2 type, The University Series in Mathematics, Plenum Press, ISBN 978-0-306-41305-6, MR 746470 
• Aschbacher, Michael (2004年). “The Status of the Classification of the Finite Simple Groups”. Notices of the American Mathematical Society 51 (7): pp. 736–740. https://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf 
• Miller, Charles F. III (1992). “Decision Problems for Groups—survey and Reflections”. Algorithms and Classification in Combinatorial Group Theory. Mathematical Sciences Research Institute Publications. 23. New York: Springer-Verlag. pp. 1–59. doi:10.1007/978-1-4613-9730-4_1. ISBN 9781461397328. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4613-9730-4_1.pdf 

和書

• 大島勝：「群論」、共立出版（共立全書88）(1954年10月1日）.
• 浅野啓三、永尾汎：「群論」、岩波書店（岩波全書 1100）(1965年2月18日).
• 永尾汎：「群論の基礎」、朝倉書店 (1967年2月20日).
• 鈴木通夫：「群論 上」、岩波書店、ISBN 4-00-005262-4 (1977年5月27日).
• 鈴木通夫：「群論 下」、岩波書店、ISBN 4-00-005263-2 (1978年8月18日).
• 渡辺哲雄：「群論演習」、槇書店、ISBN 4-8375-0480-9 (1980年6月20日).
• 大山豪：「有限置換群」、裳華房、ISBN 4-7853-1128-2 (1981年9月30日).
• 鈴木通夫：「有限単純群」、紀伊國屋書店、ISBN 4-31400490-8 (1987年10月).
• 近藤武：「群論」、岩波書店（岩波基礎数学選書）、ISBN 4-00-007807-0 (1991年1月10日).
• 原田 耕一郎：「モンスター: 群のひろがり」、岩波書店、ISBN 978-4-00-006055-4 (1999年3月26日).
• 原田耕一郎：「群の発見」、岩波書店、ISBN 978-4-00-006791-1 (2001年11月21日).
• 堀田良之・渡辺敬一・庄司俊明・三町勝久：「代数学百科 I　群論の進化」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11099-9 (2004年4月10日).
• 寺田至、原田耕一郎：「群論」、岩波書店、ISBN 4-00-005269-1 (2006年8月30日).
• 原田耕一郎：「数学，この大きな流れ　群の発見」、岩波書店、ISBN 978-4-00-730609-9 (2017年5月10日).

入門書

• 芳沢光雄：「群論入門 対称性をはかる数学」、講談社 (ブルーバックス、1917)、ISBN 978-4-06257917-9 (2015年5月21日).
• 稲葉栄次：「群論入門」、培風館 (1981年).
• 国吉秀夫：「群論入門」、サイエンス社、ISBN 4-7819-0130-1 (1975年3月31日).
• 斎藤正彦：「はじめての群論」、日本評論社、ISBN 4-535-78504-X (2005年2月10日).
• 志賀浩二 ：「群論への30講」(数学30講シリーズ)、朝倉書店、 ISBN 978-4-254-11483-6 (1989年8月25日).
• 永田 雅宜：「群論への招待」、現代数学社、ISBN 978-4-76870371-7 (2007年4月1日).
  • 永田 雅宜：「初学者のための群論」、現代数学社、ISBN 978-4-7687-0575-9 (2022年1月21日)上記の書名と判型を変更したもの。
• 横田一郎：「初めて学ぶ人のための群論入門」、現代数学社 (1997年).
• 山内恭彦、杉浦光夫：「連続群論入門」、培風館（2010年）.
• 雪江明彦：「代数学1 群論入門」 (代数学シリーズ)、日本評論社 (2010年).
• 佐藤隆夫：「群の表示」、近代科学社(大学数学スポットライト・シリーズ 第6巻)、ISBN 978-4-76490533-7 (2017年3月1日)．
• 脇克志：「見える！ 群論入門」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78796-4 (2017年6月）。

群の表現論を主に取りあげた本

• 服部昭：「群とその表現」、共立出版（共立数学講座18）(1967年11月1日).
• 横田一郎：「群と表現」、裳華房、ISBN 4-7853-1110-X (1973年5月1日).
• J.-P.セール：「有限群の線型表現」、岩波書店（1974年3月4日).
• 島和久：「連続群とその表現」、岩波書店 (1981年4月24日).
• 永尾汎、津島行男：「有限群の表現」、裳華房、ISBN 4-7853-1310-2 (1987年8月20日).
• 吉川圭二：「群と表現」、岩波書店、ISBN 4-00-007979-4 (1996年10月18日).
• 髙瀨幸一：「群の表現論序説」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005271-9 (2013年5月30日).

群論と物理学・化学との関係を解説する文献

• 佐藤光：「群と物理」、丸善出版, ISBN 978-4-62130084-8（2016年10月22日）.
• 犬井鉄郎、田辺行人、小野寺嘉孝:「応用群論：群表現と物理学」、増補版、裳華房（1980年10月).
• 今野豊彦：「物質の対称性と群論」、共立出版、ISBN 978-4-320-03409-9（2001年10月25日）.
• 小野田嘉孝：「物性物理/物性化学のための群論入門」、裳華房、ISBN 978-4-7853-2806-1（1996年2月10日）.
• 藤永茂、成田進： 「化学や物理のためのやさしい群論入門」, 岩波書店 、ISBN 978-4-00-005190-3 (2001年3月28日).
• 中崎昌雄：「分子の対称と群論」, 東京化学同人、ISBN 978-4-80790086-2（1973年2月15日).
• 高木秀夫： 「量子論に基づく無機化学：群論からのアプローチ」（増補版）. 名古屋大学出版会、ISBN 978-4-8158-0907-2（2018年4月20日).
• F.Albert Cotton: Chemical Applications of Group Theory, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-47151094-9（1990年3月).

関連項目

• 群 (数学)
• リー群
• ワイル群
• アーベル群
• 量子群
• 環論
• 体論
• 抽象代数学

外部リンク

• 群論 (PDF) (信州大学の講義資料)
• 集合から群まで (PDF)
• 1 図形の対称性と群 (PDF)
• 群論入門 group1.pdf group2.pdf group3.pdf group4.pdf group5.pdf group67.pdf (PDF) (茨城大学の講義資料)
• 無機化学 無機化学 IV(J) (PDF) (群論の項)

• 結晶対称性とランダウ理論 (PDF)
• 群論と結晶場 (PDF)

• History of the abstract group concept
• Higher dimensional group theory This presents a view of group theory as level one of a theory which extends in all dimensions and has applications in homotopy theory and to higher dimensional nonabelian methods for local-to-global problems.
• Plus teacher and student package: Group Theory This package brings together all the articles on group theory from Plus, the online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge, exploring applications and recent breakthroughs, and giving explicit definitions and examples of groups.