category theory

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圏論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/02/01 09:43 UTC 版)

可換図式を形成する3つの対象と3つの射の模式図

圏論（けんろん、英: category theory）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論である。サミュエル・アイレンベルグとソーンダース・マックレーンとによって代数的位相幾何学の基本的仕事の中で20世紀中ごろに導入された。圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。

数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。

概要

圏の研究は、関連する様々なクラスの数学的構造に共通する性質を見出そうとする試みだといえる。

集合論的な数学理論の構成では集合やその元に対して写像や関係を導入し、それらが満たすべき公理を列挙する。その公理を満たすような「構造」を持った個々の集合が理論の具体的な実現を示していて、それら一つ一つの実現に共通の性質が公理から演繹的に証明される。たとえば、群に関する定理は公理系から演繹的に証明される。例えば群の単位元が一意に定まることは公理系から直ちに証明される。こうして各種の数学理論が建設されるが、これら異なった理論に共通する様々な構成ができることも認識された。

圏論の言葉を使えば、数学の多くの分野の研究からしかるべき圏を作り出し、異なった理論の間に平行して存在する手続きを統一的に理解することができる。例えば集合、群、位相空間の圏などである。これらの圏は、例えば空集合や2つの位相空間の直積など、何かしら特別な性質を持った「空間」が存在する。しかし、圏の定義においては対象は根源的なものとみなされ、それぞれの対象が具体的にどんな集合として実現されるのかは指定されていない。そこで、これらの特別な空間についての概念を、その「要素」を参照せずに定めることはできるだろうか、という問いが生まれる。

圏論的な解析においては、何かしら与えられた構造を持つ個々の対象（例えば群）とその「内部構造」だけを考えるよりも、対象間の射 — 構造を保つ対応関係 — に力点が置かれる。群の圏の例で言えば、射は群の準同型写像にあたる。それぞれの圏における特別な対象は、他の対象とのあいだの射がどうなっているか、によって特徴づけることができる。たとえば集合の圏における空集合 ∅ は任意の集合 S について ∅ から S への射（つまり写像）がただ1つだけ存在するようなもの、として特徴づけられる。このような特徴づけは、極限やその双対概念である余極限を用いた普遍性という考え方にまとめられる。実際、数多くの重要な構成がこのようにして純粋に圏論的な方法で記述できることがわかっている。

用語

基本の構成

• 圏（category）
• 対象（object）
• 射（morphism）
• 射の合成（composition）
• 恒等射（identity）

図式

• 図式（diagram）
• 可換図式（commutative diagram）
• ストリング図式（string diagram）
• 射影（projection）
• 包含（injection, inclusion）

関手

• 関手（functor）
• 共変関手（covariant functor）
• 反変関手（contravariant functor）
• Hom関手（Hom functor）

自然変換

• 成分（component）
• 自然変換（natural transformation）
• 自然同型（natural isomorphism）
• 自然同値（natural equivalence）
• 垂直合成（vertical composition）
• 水平合成（horizontal composition）

普遍性

• 普遍性 (universal property)
• 積 (product)
• 余積 (coproduct)
• 引き戻し（pullback）
• 押し出し (pushout)

極限

• 極限（limit）
• 余極限（colimit）
• 逆極限（inverse limit）
• 有限極限（finite limit）
• 錐（cone）

随伴

• 随伴（adjunction）
• 終対象（terminal object）
• 始対象（initial object）

特殊な圏

• 集合の圏 ${\textbf {Set}}$
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  出典検索^?: "圏論" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2021年4月)

  圏論的論理学は、直観主義的論理のために型理論に基づいて定義された。この分野はさらに関数型プログラミングの理論および領域理論に応用されている。これらは全て、ラムダ計算の非構文的な記述として適用されたデカルト閉圏を背景としている。圏論的言語を用いることで、関連する分野が厳密に、（抽象的な意味で）何を共有しているのかを明らかにすることができる。

  代数的位相幾何学では空間の連続写像そのものよりも、そのホモトピー類を考えたほうがよいことがある。これは対応する圏を「変形」してホモトピー類を射として採用することにより圏論的に定式化できる。そこで、複体の射や位相線形環の準同型についてもこのような圏の変形を見いだし理解することが 20世紀後半におけるほかの種類の「幾何学」の大きな問題意識となった。

  正標数体上の数論幾何や、非可換環が「図形」を表していると考える非可換幾何などの非標準的な「幾何学」は、幾何学的な関手の構成可能性をもってそう名乗っている、という側面もある。

  21世紀現在において、米国のNew York General Group社やSymbolica AI社は、圏論に基づく人工知能の研究開発を行っている。

  参考文献

  洋書

  図書

  • Henri Cartan, Samuel Eilenberg, "Homological Algebra" (1956)
  • Chris Heunen, "Categorical Quantum Models and Logics", Amsterdam Univ Press, ISBN 978-9085550242 (2009)
  • Tom Leinster, "Basic Category Theory", Cambridge University Press (2014)
    • 斎藤恭司監修、土岡俊介訳『ベーシック圏論 普遍性からの速習コース』丸善出版。2017年1月。
  • David I. Spivak: "Category Theory for the Sciences", The MIT Press, ISBN 978-0262028134 (2014)
  • Bob Coecke, Aleks Kissinger, "Picturing Quantum Processes: A First Course in Quantum Theory and Diagrammatic Reasoning", Cambridge University Press, ISBN 978-1107104228 (2017)
    • 川辺治之訳『圏論的量子力学入門』森北出版、ISBN 978-4627170117 (2021)
  • Brendan Fong, "An Invitation to Applied Category Theory: Seven Sketches in Compositionality", Cambridge University Press, ISBN 978-1108711821 (2019)
  • Chris Heunen, Jamie Vicary: "Categories for Quantum Theory: An Introduction", Oxford Univ Press, ISBN 978-0198739616 (2020)
    • 川辺治之訳『圏論による量子計算のモデルと論理』共立出版。2018年。ISBN 978-4320124363。
  • Steve Awodey, "Category Theory (2nd ed.)", Oxford & New York: Oxford University Press (2010)
    • 前原和寿訳『圏論 原著第2版』共立出版、ISBN 978-4320111158。2015年9月19日。

  論文

  • Garrett Birkhoff, "On the Structure of Abstract Algebras" (1935)
  • Jean-Pierre Marquis, "What is Category Theory?" (2006)
  • Dilek Kadıoğlu, “Emmy Noether’s Influence on Contemporary Philosophy of Mathematics” (2023)

  和書

  • 竹内外史『層・圏・トポス　現代的集合像を求めて』日本評論社、1978年1月。 ISBN 4-535-78109-5。 
  • 大熊正『圏論(カテゴリー)』槙書店〈数学選書〉、1979年5月。 ISBN 4-8375-0457-4。 
  • 清水義夫『圏論による論理学　高階論理とトポス』東京大学出版会、2007年12月。 ISBN 978-4-13-012057-9。 
  • 斎藤毅『数学原論』東京大学出版会。ISBN 978-4130639040。2020年。
  • 圏論の歩き方委員会 編『圏論の歩き方』日本評論社、ISBN 978-4535787209。2015年9月。
  • 西郷甲矢人、能美十三『圏論の道案内：矢印でえがく数学の世界』技術評論社、ISBN 978-4297107239。2019年。

  関連項目

  • 構造主義
  • 圏 (数学)
  • 射 (圏論)
  • 関手
  • トポス

  外部リンク

  • Weisstein, Eric W. “Category Theory”. mathworld.wolfram.com (英語).
  • category theory - PlanetMath.（英語）
  • category theory in nLab