位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/10/11 06:55 UTC 版)
微分同相写像群は2つの自然な位相、弱位相と強位相を持つ (Hirsch 1997)。多様体がコンパクトなとき、これらの2つの位相は一致する。弱位相は必ず距離化可能である。多様体がコンパクトでないとき、強位相は「無限遠における」関数の振る舞いを捉え、距離化可能でない。しかしなおベール空間ではある。 M 上のリーマン計量を固定して、弱位相は K が M のコンパクト部分集合を動くときの計量 d K ( f , g ) = sup x ∈ K d ( f ( x ) , g ( x ) ) + ∑ 1 ≤ p ≤ r sup x ∈ K ∥ D p f ( x ) − D p g ( x ) ∥ {\displaystyle d_{K}(f,g)=\sup \nolimits _{x\in K}d(f(x),g(x))+\sum \nolimits _{1\leq p\leq r}\sup \nolimits _{x\in K}\left\|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)\right\|} d ( f , g ) = ∑ n 2 − n d K n ( f , g ) 1 + d K n ( f , g ) {\displaystyle d(f,g)=\sum \nolimits _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}} と定義する。 弱位相を備えた微分同相写像群は Cr ベクトル場の空間に局所同相である (Leslie 1967)。M のコンパクト部分集合上、これは M 上のリーマン計量を固定してその計量に対する指数写像（英語版）を用いることによって従う。r が有限で多様体がコンパクトであれば、ベクトル場の空間はバナッハ空間である。さらに、このアトラスの1つのチャートから別のチャートへの変換関数は滑らかであり、微分同相写像群はバナッハ多様体（英語版）になる。r = ∞ あるいは多様体がσコンパクトであれば、ベクトル場の空間はフレシェ空間である。さらに、変換関数は滑らかであり、微分同相写像群はフレシェ多様体（英語版）になる。
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位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/13 05:18 UTC 版)
心臓は心房と心室が交互に収縮しているので、心室が収縮と拡張を1回ずつ行うと心臓が1回鼓動した事になる。この1回の内、どのタイミングで雑音が聞えるかによって病態を診断する目安となる。タイミングは心音と比較する事で調べる。
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位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:11 UTC 版)
左随伴と右随伴を持つ関手。G を位相空間から集合への関手で、各位相空間にその台集合を割り当てるものとする (位相を忘れる)。G は左随伴 F を持ち、集合 Y 上に離散位相を定める。G は右随伴 H も持ち、Y に密着位相を定める。 懸垂とループ空間。位相空間XとYに対して、Xの懸垂 SXからYへの連続写像のホモトピー類がなす空間 [SX, Y] はXからYのループ空間ΩYへの連続写像のホモトピー類がなす空間と自然同型である。これはホモトピー論で重要である。 ストーン–チェックコンパクト化。KHausをコンパクトハウスドルフ空間の圏とし、G : KHaus → Topを位相空間の圏への包含関手とする。このとき、Gは左随伴F : Top → KHausを持ち、ストーン–チェックコンパクト化となる。この随伴のcounitは各位相空間Xからそのストーン–チェックコンパクト化の中への連続写像である。Xがチコノフ空間であるとき、またそのときのみ、この写像は埋め込み(つまり、単射な連続開写像)である。 層の順像と逆像。全ての連続写像f : X → YはX上の層(集合の層、アーベル群の層、環の層など)からYの対応する層への関手f ∗を誘導し、順像関手と呼ばれる。さらに、Y上のアーベル群の層からX上のアーベル群の層への関手 f −1 も誘導され、逆像関手と呼ばれる。f −1 は f ∗ の左随伴である。ここで微妙な点は連接層での左随伴は(集合の)層のそれとは異なっていることである。 sober化。ストーン双対性の記事にあるように、位相空間の圏とsober空間の圏は随伴である。特に、この記事はpointless topologyで見つかった、sober空間とspatial localeの間の有名な双対性のための別の随伴も詳細に記述している。
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位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/08 18:48 UTC 版)
「とある魔術の禁書目録の用語」の記事における「位相」の解説
異世界・層・フィルターとも呼ばれる、人類が様々な宗教概念で組み上げた異世界そのもの。作中世界には、各種宗教圏の様々な異世界がそれぞれの位相空間に位置し共存している。
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位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/01/06 08:43 UTC 版)
X からの可測関数の系（collection）で、局所的な測度収束が位相上の収束に対応するようなものについて、（局所）測度収束の位相と呼ばれる位相が存在する。この位相は、擬距離の族 とする。 この位相は擬距離の族によって生成されているため、一様化可能である。位相の代わりに一様構造を考えることで、コーシー性のような一様性（英語版）を構成することが出来る。
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位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/24 00:06 UTC 版)
すべての離散付値環は、局所環なので、自然な位相が入り、位相環になる。2元 x, y の距離を次のように定めることができる。 | x − y | = 2 − ν ( x − y ) {\displaystyle |x-y|=2^{-\nu (x-y)}} （あるいは 2 の代わりに任意の他の固定された実数 > 1 でもよい）。直感的に言えば、元 z が "小さく" て "0 に近い" こととその付値 ν(z) が大きいことは同値である。関数 |x-y|（ただし |0|=0 と定める）は、離散付値環の分数体上定義された絶対付値（英語版）の制限である。 DVR がコンパクトであることと、完備かつ剰余体 R/M が有限体であることは同値である。 完備離散付値環の例として、p-進整数環および任意の有限体上の形式冪級数環が挙げられる（局所体も参照）。離散付値環が与えられたとき、（しばしば完備化をして）それを含む完備離散付値環を考えたほうが扱いやすいことも多い。このように完備化を考えることは、有理函数から冪級数を得たり有理数から実数を得たりすることと同様の幾何学的な方法であると見做すことができる。 例に戻ろう。実係数で一変数のすべての形式的冪級数からなる環は実数直線上 0 の近傍において定義された（すなわち有限値の）有理関数の環の完備化である。それはまた 0 の近くで収束するすべての実冪級数の環の完備化でもある。（p-進整数であるようなすべての有理数からなる集合と見ることができる）Z(p) の完備化はすべての p-進整数からなる環 Zp である。
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位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/10 14:06 UTC 版)
すべての正則行列はユニタリ行列と正定値エルミート行列の積に一意的に極分解できる。ユニタリ行列の行列式は単位円上に値をとり、正定値エルミート行列の行列式は正の実数なので、特殊線型群に属している行列をこれらの積に分解したとき、それらの行列式は共に1である。よって特殊線型群に属する行列は特殊ユニタリ行列と行列式が 1 の正定値エルミート行列の積で書ける。 よって群 SL(n, C) の位相は特殊ユニタリ群 SU(n) と行列式が 1 の正定値エルミート行列全体からなる群の積位相で与えられる。行列式が 1 の正定値エルミート行列はトレース 0 のエルミート行列の指数関数行列として一意的に表せるので、その位相は (n2 − 1) 次元のユークリッド空間と同じである。 また群 SL(n, R) の位相は特殊直交群 SO(n) と行列式が 1 の正定値対称行列全体からなる群の積位相で与えられる。行列式が 1 の正定値対称行列はトレースが 0 の対称行列の指数行列として一意的に表せるので、その位相は(n + 2)(n − 1) 次元のユークリッド空間と同じである。 群 SL(n, C) は、特殊ユニタリ群 SU(n) のように、単連結である一方 SL(n, R) は、特殊直交群 SO(n) のように、単連結ではない。SL(n, R) はGL+(n, R) あるいは SO(n) と同じ基本群を持つ。つまり n = 1, 2 のときはZ で n > 2 のときは Z2 である。
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位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/23 04:30 UTC 版)
各点収束は空間 YX 上の積位相における収束と同じである。ここで X は始域で Y は終域である。終域 Y がコンパクトであれば、チコノフの定理より、空間 YX もコンパクトである。
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位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 14:05 UTC 版)
擬距離位相とは、開球 B r ( p ) = { x ∈ X ∣ d ( p , x ) < r } {\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(p,x)<r\}} 全てからなる集合が位相（開集合系）の基底を成すものとして導かれる位相のことである。位相空間が擬距離化可能であるとは、その空間上に与えられた位相と一致するような擬距離位相を与えることが出来ることを言う。 擬距離と距離の違いは、完全に位相的なものである。すなわち、擬距離が距離であるための必要十分条件は、それが生成する位相が T0 であることである（すなわち、異なる点が位相的に識別可能）。
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