円周率
(ルドルフの数 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/07/17 17:54 UTC 版)
| 円周率 |
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円周率（えんしゅうりつ、英: Pi、独: Kreiszahl、中: 圓周率）とは、円の直径に対する円周の長さの比率のことをいい[1]、数学定数の一つである。通常、円周率はギリシア文字である π[注 1]で表される。円の直径から円周の長さや円の面積を求めるときに用いる[1]。また、数学をはじめ、物理学、工学といった科学の様々な理論の計算式にも出現し、最も重要な数学定数とも言われる[5]。
円周率の計算において功績のあったルドルフ・ファン・クーレンに因み、ルドルフ数とも呼ばれる。ルドルフは小数点以下35桁まで計算した[6]。小数点以下35桁までの値は次の通りである。
-
ギリシャ文字の π は円周率に代表される。 基礎
表記と呼び方
円周率を表すギリシア文字 π は、ギリシア語でいずれも周辺・円周・周を意味する περίμετρος[7][8]（ペリメトロス）あるいは περιφέρεια[9]（ペリペレイア）の頭文字から取られた[注 2]。文字 π をウィリアム・オートレッドは1631年に著した著書において半円周の長さを表す文字として用い、アイザック・バローは論文において半径 R の円周の長さとして用いた[10]。ウィリアム・ジョーンズ (1706) やレオンハルト・オイラーらにより（現代と同じく）円周の直径に対する比率を表す記号として用いられ、それが広まった[7][10]。日本では「パイ」と発音する[8]。
数 π を指す言葉には、日本・中国・韓国における「円周率（圓周率）」、ドイツの「Kreiszahl」（Kreis は円（周）、Zahl は数の意）の他、それを計算した人物の名前を取った「アルキメデス数」（英: Archimedes' constant）、「ルドルフ数」（英: Ludolph's constant、独: Ludolphsche Zahl）などがある。一般にドイツ語を除くヨーロッパの諸言語には「円周率」に対応する単語はない[8][11]。
なお、「π」の字体は、表示環境によってはキリル文字の п に近い π などと表示されることがある。また、ギリシャ文字「π」は、円周率とは無関係に、素数計数関数や、基本群・ホモトピー群、ある種の写像（射影など）を表すのに用いられることもある。
定義
ユークリッド平面上において、全ての円は相似なので、円周 C と直径 d の比率 C/d は一定 (π) である。
直径 1 の円の周長は π 平面幾何学において、円周率 π は、円の周長の直径に対する比率として定義される。すなわち、円の周長を C, 直径を d としたとき、
-
古代
円周の直径に対する比率は円の大きさに依らず一定であり、それは 3 より少し大きい[注 3]ことは古代エジプトやバビロニア、インド、ギリシアの幾何学者たちにはすでに知られていた。また、古代インドやギリシアの数学者たちの間では半径 r の円板の面積が πr2 であることも知られていた。さらに、アルキメデスは正96角形を用いて半径 r の球の体積が 4/3πr3 であることや、この球の表面積が 4πr2（その球の大円による切り口の面積の4倍）であることを導き出した。
円周率を小数で最初に記述したのは小数を発明した中国である。263年に魏の劉徽が3072角形を使用し3.14159と計算し、5世紀に祖沖之が十尺もの直径の円を使用して3.1415926<π<3.1415927 と求め、以後1000年間、全世界でこれ以上正確な計算はなされなかった。祖の計算が正確であったことは、1300年頃に趙友欽が16384辺の内接多角形により確かめた[13]。
近代まで
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この節は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 (2022年1月)
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14世紀インドの数学者・天文学者であるサンガマグラーマのマーダヴァは次の π の級数表示を見いだしている（ライプニッツの公式）：
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円周率の小数部分の判明した桁数と時期の関係。このグラフの縦目盛りは対数スケールである。新たなアルゴリズムが開発され、コンピュータが利用できるようになると、判明した桁数は劇的に増加した。 20世紀以降、計算機の発達により、計算された円周率の桁数は飛躍的に増大した。1949年に、電子計算機ENIACを使い72時間かけて、円周率は2037桁まで計算された[33]。その後の数十年間、様々な計算機科学者や計算科学者など、あるいはコンピュータのアマチュアによって計算は進められ、1973年には100万桁を超えた。この進歩は、スーパーコンピュータの開発だけによるものではなく、効率の良いアルゴリズムが考案されたためである。そのうちの最も重要な発見の一つとして、1960年代の高速フーリエ変換がある。これにより、多倍長の演算が高速に実行できるようになった。
2022年6月9日に、Googleの技術者、岩尾エマはるかがGoogle Cloudで、チュドノフスキー級数を使い、157日23時間かけて100兆桁を計算したと発表[34]。
2025年4月2日に、Linus Media Groupは円周率300兆桁を7ヶ月半掛けて計算した[35][36]。
性質
無理性
π は無理数であるため、循環しない無限小数である。 →円周率は無理数であることの証明については「円周率の無理性の証明」を参照π は無理数である。つまり、2つの整数の商で表すことはできず、小数展開は循環しない。このことは1761年にヨハン・ハインリヒ・ランベルトが証明したが、厳密性に欠けた部分があった。その部分は1806年にルジャンドルによって補われた。
したがって、円周率のコンピュータによる計算や暗唱、十進法表示での小数部分の各数字 (0, 1, …, 9) の出現頻度は、人々の興味の対象となる。
π は超越数であるため、コンパスと目盛の無い定規を有限回用いて円と等面積の正方形を作図することは不可能である。 超越性
→円周率は超越数であることの証明については「リンデマンの定理」を参照さらに、π は超越数である。つまり、有理数係数の代数方程式の解にはならない。これは1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンによって証明された（リンデマンの定理）。これより、整数から四則演算と冪根をとる操作だけを有限回組み合わせてもけっして π の値は得られないことが分かる。
π が超越数であることから直ちに、古代ギリシアの三大作図問題の内の一つである「円積問題」（与えられた長さを半径とする円と等積の正方形を目盛の無い定規とコンパスを「有限回」用いて作図すること）は不可能なことが結論される。
ランダム性
2022年10月の時点で、π は小数点以下100兆桁まで計算されている[34]。そして、分かっている限りでは 0 から 9 までの数字がランダムに現れているようには見えるが、それが乱数列といえるかどうかははっきりとは分かっていない。たとえば π が正規数であるかどうかも分かっていない。正規数であれば π の10進表示において、各桁を順に取り出して得られる数列[37]：
- 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, …
には、0 から 9 が均等に現れるはずだが分かっておらず、それどころか、0 から 9 がそれぞれ無数に現れるのかどうかすら分かっていない。もし仮に正規数でないとすれば、乱数列でもないということになる。
5兆桁までの数字の出現回数は以下の通りである。全てほぼ等しく（約0.0005%の違いに収まる）、最も多いのは 8 で、最も少ないのは 6 である。
- 0：4999億9897万6328回
- 1：4999億9996万6055回
- 2：5000億0070万5108回
- 3：5000億0015万1332回
- 4：5000億0026万8680回
- 5：4999億9949万4448回
- 6：4999億9893万6471回
- 7：5000億0000万4756回
- 8：5000億0121万8003回
- 9：5000億0027万8819回
連分数
→「連分数」も参照分母を整数と分数の和で表すことを続けていった表示を連分数という。「整数」を最大にしていくと、分子を全て 1 にできる：
-
円の面積は、1辺が半径の正方形（灰色）の面積の π倍である。 
長半径 a, 短半径 b の楕円の面積は πab に等しい。 - 半径 r の円の周長：
関数 y = exp(−x2) のグラフと x軸で囲まれた部分の面積は √π である。（ガウス積分） 
オイラーの公式の図形的表現。複素数平面において、複素数 eiφ は、単位円周上の偏角 φ の点を表す。この公式よりオイラーの等式が導かれる。 
この節の加筆が望まれています。
ベルリン工科大学数学科の近くにあるタイル 
πのパイ。パイは円形かつ"パイ"とπは同音異義語であるため、駄洒落の対象にされる。 円という日常でもよく知られた図形についての単純な定義でありながら、小数部分が循環せずに無限に続くという不可思議さから、数学における概念の中で最もよく知られたものの一つである。
- 3月14日は円周率の日および数学の日[注 7]である。小数点以下が「永遠に続く」という意味にあやかり、3月14日に結婚するカップルもいる[57]。また、π (pi) とパイ (pie) は同音異義語であること[58]、パイが円形であることから、アメリカ合衆国など複数の国で「パイの日」として祝われ[59]、パイ焼きやパイ食のほか、数学に関係した活動が行われる[60]。
- 7月22日は円周率近似値の日とされている（ 22/7 は円周率の近似値）。
- 1999年の学習指導要領の改訂により「小学校の算数で円周率は3で計算することになる」との噂が世間に広まった[61]が、実際には必要に応じて3で計算することも可能にするための措置であった[62]。
- 2012年8月14日、米国勢調査局が、米国の人口が円周率と同じ並びの3億1415万9265人に達したと発表した。アメリカには円周率の曲を作る人もいる[63]。
- 組版処理ソフトウェア TeX のバージョン番号は、3.14, 3.141, 3.1415, … というように、更新の度に円周率に近づいていくように一桁ずつ増やされる。
実務上の近似値
円弧の長さの計算など、実務上の数値計算では、その用途に応じて必要な桁数の円周率が計算に用いられる。例として、
- 指輪などの小さなものでは、3.14で設計している。[要出典]
- 公認陸上競技場の曲走路の計算では、3.1416を用いている[64]。
- NASAのJPLの惑星間航行システムにおける最高精度の計算では、小数点以下15桁までの3.141592653589793を用いている[65]。
- 観測可能な宇宙が球体だとして、その円周の誤差が水素原子程度になるためには、小数点以下40桁程度を使えば足りる[66]。
値
小数点以下1000桁までの値 π = 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 … （オンライン整数列大辞典の数列 A000796）[67]- 十進記数法以外の表記法による表現
- 二進記数法（基数2）による最初の48桁（48ビットとも呼ばれる）は 11.001001000011111101101010100010001000010110100011...（オンライン整数列大辞典の数列 A004601）
- 三進記数法（基数3）による最初の38桁は 10.0102110122220102110021111102212222201...（オンライン整数列大辞典の数列 A004602）
- 十六進記数法（基数16）による最初の20桁は3.243F6A8885A308D31319...[68]（オンライン整数列大辞典の数列 A062964）
- 六十進記数法（基数60）による最初の5桁は 3;8,29,44,0,47[69]（オンライン整数列大辞典の数列 A060707）
注釈
- ^ 古代ギリシア語読み：πεῖ [pêː, pi]、中世ギリシア語読み：πῖ [piː, pi]、現代ギリシア語読み：πι [pi]。日本語読み：パイ[2][3]、ピー[4]
ラテン文字表記：pi, Pi 英語発音: [pai], ドイツ語発音: [piː], フランス語発音: [pi], オランダ語発音: [pi] - ^ ただし、これは明らかな根拠がない話であり、適切に表現すれば定まらないというのが正しい、という主張も見られる[10]。
- ^ これは、円周はそれに内接する正六角形の周より大きいことと同値である。
- ^ 「遺題」は和算書の著者が「後の人のために残した問題」で、「遺題継承」とは「新しく和算書を著す人は前に出された和算書の遺題を解いた上で新しい問題を遺す」という習わし[18]。
- ^ 「宅間流」は関西地方の和算の一会派で、鎌田俊清だけは、他の和算家とは違う道を追求していた。宅間流は和算家の中では小会派であったが、一門の中から高橋至時 (1764-1804)、間重富 (1756-1816) などの暦学関係の主要な人物を輩出し、寛政暦の編纂に従事した[26]。
- ^ 3回の反復で小数18位まで求めることができる
- ^ 3月14日はアルベルト・アインシュタインの誕生日でもあり、日本数学技能検定協会によって数学の日に指定されている。
→詳細は「3月14日」を参照
出典
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参考文献
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- 黒田成俊『微分積分』共立出版〈共立講座21世紀の数学 第1巻〉、2002年9月。 ISBN 978-4320015531。
- 日本数学会 編『数学辞典』（第4版）岩波書店、2007年3月。 ISBN 978-4-00-080309-0。
- Berggren, Lennart; Jonathan Borwein, Peter Borwein (1991). Pi: A Source Book. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-94924-0
- ウォルター・ルーディン (1976) [1953]. Principles of Mathematical Analysis (3e ed.). マグロウヒル. ISBN 0-07-054235-X
- 板倉聖宣、中村邦光、板倉玲子「江戸時代の円周率の値」『日本における科学研究の萌芽と挫折 : 近世日本科学史の謎解き』仮説社、1990年5月（原著1982年）、188-212頁。 NCID BN04953821。全国書誌番号: 92054782。
- 中村邦光、板倉聖宣『円周率3.14の受け継ぎと定着の過程』仮説社、1990年（原著1983年）、213-240頁。
- 中村邦光、板倉聖宣『円周率3.14の動揺と3.16の復活の謎』仮説社、1990年（原著1984年）、241-255頁。
- 中村邦光「江戸時代の日本における円周率の値の逆行現象」『計量史研究』第38巻第1号、日本計量史学会、2016年、42-48頁、 ISSN 0286-7214、 NAID 110010040017、NDLJP:10632319。
- 板倉聖宣「円周率の変化に見る日本の数学＝和算の発展」『日本史再発見 : 理系の視点から』朝日新聞社〈朝日選書 477〉、1993年、258-268頁。 ISBN 4-02-259577-9。 NCID BN09217299。
- 板倉聖宣『新総合読本 2種類あった江戸時代の円周率－〈3.16〉と〈3.14〉のなぞ』 356巻、9号、仮説社〈たのしい授業〉、2009年、92-115頁。
関連書籍
- 『円周率πの不思議―アルキメデスからコンピュータまで』堀場芳数、講談社〈ブルーバックス〉、1989年10月17日。ISBN 978-4061327979。
- 『π（パイ）のはなし』金田康正、東京図書、1991年4月1日。ISBN 978-4489003387。
- 『πの公式をデザインする』猪口和則、新風舎、1998年1月9日。ISBN 4-7974-0493-0。
- 『円周率πをめぐって』上野健爾、日本評論社、1999年3月。ISBN 978-4535608405。
- 『π-魅惑の数』ジャン＝ポール・ドゥラエ、畑政義訳、朝倉書店、2001年10月1日。ISBN 978-4254110869。
- 『πの歴史』ペートル・ベックマン、田尾陽一訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2006年4月。ISBN 978-4480089854。
- 『π ― πの計算アルキメデスから現代まで』竹之内脩、伊藤隆、共立出版、2007年3月22日。ISBN 978-4320018341。
- 『円周率が歩んだ道』上野健爾、岩波書店〈岩波現代全書〉、2013年6月19日。ISBN 978-4000291040。
- 『円周率 ―歴史と数理―』中村滋、共立出版、2013年11月23日。ISBN 978-4320110625。
- Pi: A Source Book (3rd ed.). Lennart Berggren; Jonathan Borwein; Peter Borwein (2004-8-9). シュプリンガー. ISBN 978-0387205717
- Pi: The Next Generation: A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation (1st ed.). David H. Bailey; Jonathan M. Borwein (2016-8-5). シュプリンガー. ISBN 978-3319323756
関連項目
- 数学に関するもの
- 円周率の歴史
- 円周率の近似
- 円周率の無理性の証明
- τ (数学定数) - 円の半径に対する周長の比
- リンデマンの定理
- ファインマン・ポイント
- 数学定数
- 教育に関するもの
- 社会に関するもの
外部リンク
- 算数用語集「円周率」 - 新興出版社啓林館
- 円周率.jp
- 江戸の数学「コラム 円周率」 - 国立国会図書館
- 円周率ナビ
- 円周率計算｜ラマヌジャン型公式
- 寒川光：「完全楕円積分とガウス・ルジャンドル法によるπの計算」、平成29年（西暦2017年）4月14日
- 高校生のための コンピュータサイエンス オンラインセッション2020 情報処理学会 第3回 2020/08/07 10:00-11:00 井上 創造、岩尾 エマ はるか（38m37s〜） - YouTube
- ※ 円周率30兆桁をGoogleCloudを使って計算。
- Nayandeep Deka Baruah, Bruce C. Berndt and Heng Huat Chan: "Ramanujan's Series for 1/π: A Survey", The American Mathematical Monthly, v116(7) (Aug-Sep.,2009),pp.567-587.
- 半径 r の円の周長：
- ルドルフの数のページへのリンク
