定義に関する注意

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定義に関する注意

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/21 13:40 UTC 版)

「ユークリッド環」の記事における「定義に関する注意」の解説

「ユークリッド函数」と言うかわりに「次数」、「賦値」、「ゲージ函数」、「ノルム」などといったような用語を用いているものも多い[要出典]（特に名称を提示せず、単に条件を満たす写像/函数とだけ言っている場合も少なくないが）。 ユークリッド函数の定義として任意の整列集合に値を取ることを許して一般化する場合もある。このように条件を弱めても、ユークリッド性の最も重要な部分には何も影響しない。またユークリッド函数の定義域から零元 0R を抜かず R 全体で定義されることを仮定する文献もある。この場合、例えば一変数多項式環 K[X] に対して通常の次数函数 deg は（ユークリッド函数の値域を N とするとそのままでは使えないが）零多項式 0 の次数 deg(0) = −∞ を最小値として付与した N ∪ {−∞} に値をとるユークリッド函数にはなる。 条件 (EF1) を次のような形に書きなおすこともできる： R の任意の非零元 b が生成する主イデアル I = (b) に対して、剰余環 R⁄I の零でない同値類は必ず f(r) < f(b) を満たす代表元 r を含む。 f の取りうる値は整列順序付けられているから、I に属さない元 r のうち、それが属する同値類において f(r) の値が最小となるものだけについて、必ず f(r) < f(b) が成り立っていることを示せば、この条件が満たされることが言える。この条件の下で確定されるユークリッド函数に対して (EF1) における q と r が効果的に決定できる方法が存在することは必要とされていないことに注意。

定義に関する注意

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/11 14:00 UTC 版)

「環 (数学)」の記事における「定義に関する注意」の解説

公理的な取り扱いにおいて、文献によってはしばしば異なる条件を公理として課すことがあるので、そのことに留意すべきである。環論の場合例えば、公理として「環の乗法単位元が加法単位元と異なる」という条件 1 ≠ 0 を課すことがある。これは特に「自明な環は環の一種とは考えない」と宣言することと同じである。 もっと重大な差異を生む流儀として、環には「乗法の単位元の存在を要求しない」というものがある。これを認めると、例えば偶数であるような整数の全体 2Z も通常の加法と乗法に関する環となると考えることができる（実際にこれは乗法単位元の存在以外の環の公理を全て満足する）。乗法単位元の存在以外の環の公理を満足する環は、しばしば擬環 (pseudo-ring) とも呼ばれ、あるいは多少おどけて（ring だけれども乗法単位元 i が無いからということで）"rng" と書かれることもある。これと対照的に、乗法単位元を持つことを強調する場合には、単位的環や単位環 (unital ring, unitary ring) あるいは単位元を持つ環 (ring with unity, ring with identity, rings with 1) などと呼ぶ。ただし、非単位的環を単位的環に埋め込むことは常にできる（単位元の添加）ということに注意。 他にも大きな違いを生む環の定義を採用する場合があり、例えば、環の公理から乗法の結合性を落として、非結合環あるいは分配環と呼ばれる環を考える場合がある。本項では特に指定の無い限りこのような環については扱わない。

定義に関する注意

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/25 03:10 UTC 版)

「広義積分」の記事における「定義に関する注意」の解説

場合によっては、次の積分 ∫ a c f ( x ) d x は、次の極限の存在を抜きにして定義できる： lim b → c − ∫ a b f ( x ) d x . しかしこの極限なしでは値の計算が困難である。例えば関数 f を a から c で積分する際、(1)関数 f が c で正または負の無限大に発散するとき、または(2) c = ∞のときに、そのような状況がしばしば生ずる。 また場合によっては、f(x) dx の正部分と負部分それぞれの a から c までの積分が共に無限大となり、単なる「f の a から c までの積分」が定義すらできなくても、上記の極限だけは存在することがある。それは（通常の積分に帰着できないという意味で）「真の」広義積分と呼べるだろう。

定義に関する注意

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/28 13:50 UTC 版)

「ポリトープ」の記事における「定義に関する注意」の解説

こんにちでは「超多面体」(polytope) は様々な幾何学的対象を広汎にカバーする語として用いられており、文献によって異なる定義が採用されている。そうした種々の定義の多くは互いに同値でなく、それによって「超多面体」と呼ばれるべき対象の範囲もそれぞれ異なったものとなることに注意すべきである。このようなことは、凸超多面体（英語版）を同様の性質を持つほかの対象を含むように一般化するいくつも異なる方法が存在することを表している。 もともとの考え方はルートヴィヒ・シュレーフリ（英語版）、ソロルド・ゴセット（英語版）らにより広く探られた、二次元および三次元のそれぞれ多角形および多面体の概念の、四次元あるいはそれ以上における対応物への拡張である。 多面体のオイラー標数をより高次の超多面体に対して一般化する試みは、位相幾何学の発展および多面体分割の取り扱い、あるいは超多面体の類似としてのCW複体を導いた。この流儀では、「超多面体」とは適当に与えられた多様体の分割あるいは充填と見なすことができる。この方法で定義される超多面体の例には、単体分割（英語版）可能な点集合が挙げられる。この場合、超多面体は有限個の単体の合併であって、追加の性質として「その任意の二つの単体が空でない交わりを持つとき、それら交わりは必ずもとの二つの単体両方の頂点、辺、あるいはより高次の面に一致していなければならない」という条件を満足する。しかしこの定義では内部構造を持つ星型超多面体（英語版）は許されず、したがってこのような流儀の通じる分野はややもすれば限定的である。 星型多面体の発見とその他の少し変わった構成を許す立場からば、多面体を内部を無視して境界となる曲面として扱う視点が与えられる:205ff.。それを踏襲して、p-次元空間における凸超多面体は、(p − 1)-次元球面による球面充填（英語版）と同じものと見なされる。あるいはほかの種類の充填として、楕円型（英語版）、平坦、円環体型の (p − 1)-次元曲面によるものもそれぞれ考えられる（楕円型充填（英語版）や穿孔多面体（多孔トーラス型多面体）などの項を参照）、多面体をその面が多角形となる曲面と見なせるのと同様に、多胞体をその胞（ファセット、三次元面）が多面体となる三次元超曲面として理解することができる。より高次の超多面体も同様である。 低次の超多面体を使ってより高次の超多面体を構成するという考え方は、次元を下げるほうにも拡張することがあり、例えば辺は点の対で囲まれた「一次元超多面体」であり、頂点は「零次元超多面体」である。このやり方は例えば抽象超多面体（英語版）の理論において利用できる。 数学の特定の分野では「ポリトープ」("polytope") や「ポリヘドロン」("polyhedron") がやや異なる意味で用いられる。すなわち、（本項に言う超多面体の意味で）任意次元の一般の対象を「ポリヘドロン」と呼び、「ポリトープ」は有界な「ポリヘドロン」の意味で用いられる。この用語法は、典型的には「ポリヘドロン」および「ポリトープ」が凸体（英語版）である場合に限って用いられる。この語法に則れば、凸「ポリヘドロン」は有限個の半空間の交わりに等しく、その辺によって定義される。対して、凸「ポリトープ」は有限個の点の凸包に等しく、それら頂点によって定義される。