harmonic mean

OR事典

調和平均

読み方：ちょうわへいきん
【英】：harmonic mean

平均の計算の仕方のひとつで， 各値の逆数の平均を計算してさらにその逆数を調和平均と呼ぶ． この平均は値が正でないとその計算法からも分かるように意味のない値になる． また， パラメータを持つ一般平均 （各値の絶対値の乗の平均を計算して 乗根をとったもの）では， としたものである．

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調和平均

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/06/12 23:06 UTC 版)

数学において、調和平均（ちょうわへいきん、英: harmonic mean, subcontrary mean）とは、いくつかある広義の平均のうちの一つである。典型的には、率(割合・比率)の平均が望まれているような状況で調和平均が適切である。

正の実数について、調和平均は逆数の算術平均の逆数として定義される。例えば、3つの数 1, 2, 4 の調和平均は次のようになる：

${\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{3}}({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})}}={\frac {12}{7}}.$

2数 a, b の3種のピタゴラス平均の幾何学的構成。H によって示されている紫色の線が調和平均を表す。A, G はそれぞれ算術平均、幾何平均を表す。また、Q は二乗平均平方根を表す。

正の実数の集合に対して、調和平均を H, 算術平均を A, 幾何平均を G とすると、3つの平均の間には関係 H ≤ G ≤ A が成り立つ。平均を取る数の値がすべて等しいとき、かつそのときに限り、3つの平均は等しくなる。

また、2数 x₁, x₂ について考えると、調和平均は

$H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}$

h は A と B の調和平均の 1/2 である。

図のように、二つのはしごが通路の両端に立ててあり、高さ A および B の位置で脚とは反対側の壁に寄りかかっている場合を考える。このとき、はしごが交差する点の床からの高さ h は A と B の調和平均の 1/2 である。壁が斜めであっても、床からの各点の距離は壁との平行線を基準にすれば、A, B, h で変わらない。

楕円において、semi-latus rectum（焦点から楕円への短軸に平行な直線に沿った距離）は焦点から楕円の最大と最小の距離の調和平均である。

三角関数において、タンジェントの二倍角の公式で、角 A について tan A = s/c と与えられていれば、tan 2A は、c, s の調和平均と、c − s の逆数の積である。数式で表現すれば

$\tan 2A={\frac {2cs}{c+s}}\cdot {\frac {1}{c-s}}$

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外部リンク

• 『調和平均』 - コトバンク
• 『調和平均にまつわる重要な公式まとめ』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Harmonic Mean". mathworld.wolfram.com (英語).
• Averages, Arithmetic and Harmonic Means at cut-the-knot