ベクトル解析

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/07/02 04:18 UTC 版)

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ベクトル 勾配 発散 回転 ラプラシアン 方向微分 公式 定理 発散 勾配 グリーン ケルビン・ストークス
多変数 形式と枠組み 行列 テンソル 外 幾何学的 定義 偏微分 多重積分 線積分 面積分 体積分 ヤコビアン ヘッセ行列
特殊化 分数階微積分 解析接続 マリアヴァン 確率 変分
その他 解析学記号
表 話 編 歴

ベクトル解析（ベクトルかいせき、英語：vector calculus）は空間上のベクトル場やテンソル場に関する微積分に関する数学の分野である。

多くの物理現象はベクトル場やテンソル場として記述されるため、ベクトル解析は物理学の様々な分野に応用を持つ。

物理学では3次元ユークリッド空間上のベクトル解析が特によく用いられるが、ベクトル解析は一般のn次元多様体上で展開することができる。

3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析

ベクトル場とスカラー場

定義

3次元ユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{3}$

ベクトル場の例（2次元の場合）

本項では特に断りのない限り、この写像がPに関して滑らかな場合を考える。すなわち、 $\mathbb {R} ^{3}$

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ベクトル解析

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「作用素」の記事における「ベクトル解析」の解説

詳細は「ベクトル解析」を参照 ベクトル解析においてしばしば用いられる三つの作用素を挙げておこう: 勾配 grad（あるいは記号的に ∇）はスカラー場の各点に対して、その点における変化率が最大の方向を向きとしその最大変化率の絶対値を大きさとするベクトルを割り当てる。 発散 div（あるいは記号的に ∇·）はベクトル場の各点における場の発散または収斂の度合いを測るベクトル作用素である。 回転 curl, rot（あるいは記号的に ∇×）はベクトル場の各点においてその点の周りでの場の回転の度合いを測るベクトル作用素である。 物理学や工学への応用においては、ベクトル解析のテンソル空間への拡張として作用素 grad, div, curl はテンソル解析においてもベクトル解析同様に用いられる。

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