体上の多元環 体上の多元環の概要

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体上の多元環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/27 01:49 UTC 版)

定義における係数の体を可換環に取り換えることにより、体上の多元環の一般化として環上の多元環の概念を得ることもできる。

文献によっては、単に「多元環」（あるいは「代数」）と言えば単位的結合多元環を指すこともあるが、本項ではそのような制約は課さない。

定義と動機付け

簡単な例

任意の複素数は、実数 a, b と虚数単位 i を用いて a + bi の形に一意的に書くことができる。言い換えれば、複素数は実数体上のベクトル (a, b) として表現できる。したがって複素数の全体は二次元の実ベクトル空間をなし、加法とスカラー乗法は a, b, c, d を実数として、(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) および c(a, b) = (ca, cb) で与えられる。ここで、二つのベクトルの積を記号 "⋅" で表すことにすれば、複素数の積は (a, b)⋅(c, d) = (ac − bd, ad + bc) によって定義される。

以下の主張は複素数の基本性質である。ここで z₁, z₂, z₃ は複素数、α は実数を表すものとする。

• 複素数の乗法は複素数の加法に対して分配的である: (z₁ + z₂)z₃ = z₁z₃ + z₂z₃.
• 複素数の乗法は実数によるスカラー乗法と可換である: (αz₁)z₂ = α(z₁z₂) = z₁(αz₂).

この例は、次節における体 K として実数全体の成す体 R をとり、ベクトル空間 A として複素数の全体を考えたときに適合する。

定義

K は体、A を K 上のベクトル空間で付加的な二項演算 "⋅": A × A → A, (x, y) ↦ xy を持つものとする（x, y を A の任意の元とするとき、xy をそれらの積と呼ぶ）。このとき、A が K 上の多元環であるとは、A の任意の元 x, y, z と K の任意の元（スカラー）α について、以下の条件

• 左分配律: (x + y) z = xz + yz
• 右分配律: x(y + z) = xy + xz
• スカラー律: (αx)y = α(xy) = x(αy)

を満足するときに言う。このときの二項演算 "⋅" は、ふつう A 上の乗法と言い、これらの三公理はまとめて、乗法の双線型性と呼ばれる。K 上の多元環は、短く K-多元環とも呼び、また K は多元環 A の係数体 (scalar field) または基礎体 (base field, ground field) という。

本項においては、規約として多元環の元の乗法が結合的であることは仮定しないが、文献によっては結合的なものを単に「多元環」と呼んでいる場合があるので注意を要する。

また、（先の複素数の例などのように）ベクトル空間の上の乗法が可換であるときには、左分配性と右分配性とはまったく一致する条件であるが、一般に非可換である場合には（後述する四元数の例のように）両条件は同値ではない。したがって、これらは別々に要請されるべき公理であることに注意を要する。

動機付けとなる例

実数全体 R を一次元ベクトル空間と見ると、乗法と両立するから、自分自身の上の一次元多元環になる。先ほどは複素数の全体が実数体 R 上の二次元ベクトル空間で、さらに R 上の二次元多元環となることを見た。これらはともに、任意の非零ベクトルが逆元を持つ。同様にして三次元の実ベクトル空間で、任意の非零元が逆元を持つようなもの（多元体）はあるかと問うのは自然なことであるが、答えは否定的である（ノルム多元体を参照）。

実三次元の（多元体）は存在しないが、1843年にハミルトンにより定義された四元数の全体には乗法だけでなく除法も定義できる。これは今日では実四次元の多元体の例として有名である。任意の四元数を (a, b, c, d) = a + bi + cj + dk のように書くことができる。複素数の場合と異なり、四元数の全体は非可換多元環の例を与える（例えば ij = k だが ji = −k である）。する（注：近年は体の定義として加法と乗法について可換であることを課すのが普通となり、四元数のような非可換の乗法を持つ環の場合には除法が定義できても「体(field)」であるとは云わずに「斜体(skew field)」と称して体には含めなくなってきている。）

四元数のほかにも、体上の多元環の簡単な例として超複素数系がいくつか得られる。

基本概念

多元環の準同型

K-多元環 A, B に対して、K-多元環の準同型 (algebra homomorphism) とは、K-線型写像 f: A → B であって、A の任意の元 x, y について f(xy) = f(x)f(y) を満たすものを言う。K-多元環全体の成す空間はしばしば

$\operatorname {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B)$

のように書かれる。K-多元環の同型とは全単射な K-多元環の準同型を言う。互いに同型な多元環は実際上は表し方が違うだけの同じものであると考えられる。

部分多元環とイデアル

体 K 上の多元環の部分多元環 (subalgebra) とは、部分線型空間であって、さらにその空間の任意の二元の積がふたたびその空間に属するようなものを言う。言い換えれば、部分多元環は加法と乗法及びスカラー乗法に関して閉じているような部分集合である。記号で書けば、K-多元環 A の部分集合 L が部分多元環であるとは、任意の x, y ∈ L と c ∈ K に対して xy, x + y, cx ∈ L が成り立つことである。

先の複素数の例を実数体上二次元の多元環と見做せば、実数直線は一次元の部分多元環になる。

K-多元環の左イデアル (left ideal) は、部分線型空間であって、その空間の各元に多元環の任意の元を左から掛けて得られる元が常にその空間に属するという性質を持つものを言う。記号で書けば、K-多元環 A の部分集合 L が左イデアルであるとは、L の任意の元 x, y と A の任意の元 z および K の任意の元について、以下の条件

1. 加法の閉性: x + y ∈ L
2. スカラー乗法の閉性: cx ∈ L
3. 任意左乗法の閉性: zx ∈ L

をすべて満足することをいう。最後の条件を「任意右乗法の閉性 xz ∈ L」に取り換えれば右イデアル (right ideal) の定義を得る。両側イデアル (two-sided ideal) は左イデアルでも右イデアルでもあるような部分集合を言う。単に「イデアル」と言った時には、両側イデアルの意味であるのが普通である。もちろん、多元環が可換であるときには、これらのイデアルの概念はいずれも一致してしまうので、この場合は単にイデアルと呼ぶ。上二つの条件は L が A の部分線型空間であることを言うものであることを指摘しておく。また最後の条件からは、任意の左および右イデアルが部分多元環となることがわかる。

いま定義したイデアルの概念が、環のイデアルとは異なる概念であることに留意することは重要である（スカラー倍に関する条件が加わっている）。もちろん、考える多元環が単型であるときには、スカラー倍に関する条件は最後の条件に含まれる。

係数拡大

係数体 K を含むより大きな体 F, すなわち体の拡大 F/K が与えられたとき、自然な仕方で K 上の多元環から F 上の多元環が構成できる。これはベクトル空間の係数体をより大きな体に取り換えるのと同じ構成法、つまりテンソル積 V_F = V ⊗_K F を作ることで与えられる。つまり、A が K 上の多元環ならばテンソル積 A_F = A ⊗_K F は F 上の多元環である。