点ごとの積とは? わかりやすく解説

Weblio 辞書 > 辞書・百科事典 > 百科事典 > 点ごとの積の意味・解説 

点ごとの積

(点ごとの乗法 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/01/07 18:05 UTC 版)

2つの関数点ごとの積は、定義域の各値における2つの関数のを掛けることで得られる別の関数である。fg がともに定義域が X で終域が Y の関数で、Y の元が掛けることができるとき(例えば Y は数からなる集合)、fg の点ごとの積は X から Y への xXf(x)g(x) に写す別の関数である。

定義

XY集合とし、Y乗法が定義されているとする――つまり、y, zY に対して、yz = yz によって与えられる

がきちんと定義されているとする。fg関数 f, g: XY とする。すると,点ごとの積 (fg): XY

xX に対して (fg)(x) = f(x) ⋅ g(x)

によって定義される。積の二項演算子 を省略するのと同様に fg = fg と書く。

合成とは異なることに注意。

2つの関数の点ごとの積の最も一般的な場合は終域(あるいは)のとき(このとき乗法は well-defined である)である。

  • Y実数全体の集合 R のとき、f, g: XR の点ごとの積は単に像の通常の乗法である.例えば,f(x) = 2xg(x) = x + 1 のとき,各実数 xR に対して
    である。
  • 畳み込み定理英語版畳み込みフーリエ変換はフーリエ変換の点ごとの積である:
    と述べている。

点ごとの積の代数的応用

X を集合とし R を環とする。R には加法と乗法が定義されているから、X から R への関数全体の集合には多元環と呼ばれる代数的構造を入れることが、関数の加法、乗法、スカラー乗法を点ごとに定義することによって、できる。

RXX から R への関数全体の集合を表すと,f, gRX の元のとき,f + g, fg, rf はすべて RX の元である.ここで最後の元はすべての rR に対して

とすることで定義される。

一般化

fg がともに、離散変数からなる集合に関してそれらがとり得る値の組み合わせ全体の成す集合を定義域に持つと仮定する。このときそれらの点ごとの積は、その定義域がもとの二写像各々の変数の合併に関して取りうる値の組み合わせ全体の成す集合として与えられる写像となる。変数のとる値の各組に対するこの写像の値は、もとの各々の写像の定義域はこの写像の定義域の部分集合なのだから、それぞれの変数の値の対応する組に対するもとの二写像各々の値の積として計算できる。

例えば、函数 f1: B × BR がブール値変数 p, q に対し、また f2: B × BR がブール値変数 q, r に対して与えられた、ともに実数の函数とすれば、それらの点ごとの積は f(p, q, r) := f1(p, q) × f2(q, r) で与えられる三変数の函数 f: B × B × BR である。以下の表は、各函数の値を与えたときの点ごとの積を示したものである:

p q r f1(p, q) f2(q, r) 点ごとの積 f(p, q, r)
T T T 0.1 0.2 0.1 × 0.2
T T F 0.1 0.4 0.1 × 0.4
T F T 0.3 0.6 0.3 × 0.6
T F F 0.3 0.8 0.3 × 0.8
F T T 0.5 0.2 0.5 × 0.2
F T F 0.5 0.4 0.5 × 0.4
F F T 0.7 0.6 0.7 × 0.6
F F F 0.7 0.8 0.7 × 0.8

関連項目




英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「点ごとの積」の関連用語

点ごとの積のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



点ごとの積のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアの点ごとの積 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS