一次函数の演算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/14 05:45 UTC 版)
係数は適当な体、あるいは整域 K にとるものとする。ふたつの一次函数 f(x) = ax + b, g(x) = cx + d に対して、それらの和 f + g を点ごとの値の和 ( f + g ) ( x ) := f ( x ) + g ( x ) ( = ( a + c ) x + ( b + d ) ) {\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x)\ (=(a+c)x+(b+d))} によって定めると、これは再び一次函数を与える。一次函数の全体は可換群を成すことを確かめるのは容易である。また、定数倍 λf を ( λ f ) ( x ) := λ ( f ( x ) ) ( = λ a x + λ b ) {\displaystyle (\lambda f)(x):=\lambda (f(x))\ (=\lambda ax+\lambda b)} で与えれば、一次函数の全体が 1 と x の張る二次元のベクトル空間となることがわかる。一方、点ごとの積 ( f ⋅ g ) ( x ) := f ( x ) g ( x ) ( = a c x 2 + ( a d + b c ) x + b d ) {\displaystyle (f\cdot g)(x):=f(x)g(x)\ (=acx^{2}+(ad+bc)x+bd)} は（f か g の何れかが定数函数でないかぎり）もはや一次函数ではないが、合成 ( f ∘ g ) ( x ) := f ( g ( x ) ) ( = a c x + ( a d + b ) ) {\displaystyle (f\circ g)(x):=f(g(x))\ (=acx+(ad+b))} は再び一次函数である。とくに a ≠ 0 ならば一次函数 f−1(x) = x/a − b/a は f の逆函数になる。
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