一次元調和振動子とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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一次元調和振動子

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 14:06 UTC 版)

質量 m、角振動数 ω の一次元調和振動子を考えると、ハミルトニアンは H = p 2 2 m + m ω 2 2 q 2 {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q^{2}} であり、保存量であるエネルギーを E とする状態では、位相空間上の軌道は、楕円軌道 p 2 2 m + m ω 2 2 q 2 = E {\displaystyle {\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q^{2}=E} となる。このとき、作用変数 J は楕円の面積に相当し、 J = ∮ p d q = 2 ∫ − 2 E / ω + 2 E / ω 2 m ( E − m ω 2 2 q 2 ) d q = 2 π ω E {\displaystyle J=\oint p\,\mathrm {d} q=2\int _{-{\sqrt {2E/\omega }}}^{+{\sqrt {2E/\omega }}}{\sqrt {2m\left(E-{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q^{2}\right)}}\,\mathrm {d} q={\frac {2\pi }{\omega }}E} と求まる。従って、量子化条件 J = nh (n = 1, 2, ⋯) から、量子化されたエネルギー E = h ω 2 π n = ℏ ω n ( n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle E={\frac {h\omega }{2\pi }}n=\hbar \omega n\quad (n=1,2,\dots )} が得られる。ここで、ħ はディラック定数である。

※この「一次元調和振動子」の解説は、「ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件」の解説の一部です。
「一次元調和振動子」を含む「ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件」の記事については、「ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件」の概要を参照ください。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 08:54 UTC 版)

「正準変換」の記事における「一次元調和振動子」の解説

質量m、角振動数ωの一次元調和振動子では、ハミルトニアンは H ( q , p ) = 1 2 m p 2 + m ω 2 2 q 2 {\displaystyle H(q,p)={\frac {1}{2m}}p^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q^{2}} で与えられる。母関数を W 1 ( q , Q ) = 1 2 m ω q 2 cot ⁡ Q {\displaystyle W_{1}(q,Q)={\frac {1}{2}}m\omega q^{2}\operatorname {cot} {Q}} で与えると、新旧の正準変数の間には p = ∂ W 1 ∂ q = m ω q cot ⁡ Q {\displaystyle p={\frac {\partial W_{1}}{\partial q}}=m\omega q\operatorname {cot} {Q}} P = − ∂ W 1 ∂ Q = 1 2 m ω q 2 1 sin 2 ⁡ Q {\displaystyle P=-{\frac {\partial W_{1}}{\partial Q}}={\frac {1}{2}}m\omega q^{2}{\frac {1}{\sin ^{2}{Q}}}} の関係が成り立つ。また、新しいハミルトニアンは、 K ( Q , P ) = H ( q , p ) = ω P {\displaystyle K(Q,P)=H(q,p)=\omega P} とPだけの関数となる。すなわち、Qは循環座標である。この場合、QとPの時間発展は、 Q ( t ) = ω t + β {\displaystyle Q(t)=\omega t+\beta } P ( t ) = E ω = c o n s t . {\displaystyle P(t)={\frac {E}{\omega }}=\operatorname {const.} } と簡単な形で求まる。但し、βは任意の定数、Eは保存量である系のエネルギーである。