数論
(Number Theory から転送)
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数論（すうろん、英語: number theory）は、数、特に整数およびそれから派生する数の体系（代数体、局所体など）の性質について研究する数学の一分野である。整数論とも言う。
概要
フェルマーの最終定理のように、数論のいくつかの問題については、他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。しかし、使われる手法は多岐に渡り、また非常に高度であることが多い。
分野
通常は代数学の一分野とみなされることが多い。おおむね次の四つに分けられる。
- 初等整数論
- 他の分野の数学的手法を使わずに問題に取り組む、数論の中で最も基礎的な土台をなす。フェルマーの小定理やオイラーの定理、平方剰余の相互法則などはこの分野の成果である。
- 代数的整数論
- 扱われる対象は整数というよりも代数的整数である。従って、代数的な整数論と読むよりも代数的整数の論と読む方が正しいと考えられる。ガウスの整数を研究したカール・フリードリヒ・ガウスがおそらくこの分野の創始者である。体論はこの分野の基礎的根幹であって、ガロア理論は基本的な道具である。代数体のアーベル拡大の統制を記述する類体論も、この分野の大きな成果である。元来の岩澤理論もここに分類されよう。
- 解析的整数論
- 微積分や複素関数論等の解析学的手法を用いて問題に取り組む。この分野は初めて解析的な手法を系統的に数論に応用したペーター・グスタフ・ディリクレに始まるとされる。その弟子であるベルンハルト・リーマンによってすでにこの分野の最大の未解決問題であるリーマン予想（1859年）が提示されたのは興味深い。素数定理の証明（1896年）はこの分野の一里塚である。ゼータ関数、保型関数を研究するのもこの分野であって、超越数論とも関係が深い。
- 数論幾何学
- 整数論の問題を、代数幾何の手法で研究する、あるいは代数幾何の主対象である代数多様体（もっと広くスキーム）の整数論的な性質を研究する分野である。ディオファントスによる研究（初等整数論の範疇）から考えても、その起源は古いが、現代的な意味での数論幾何学の始祖はアンドレ・ヴェイユ（合同ゼータ関数に関する研究、モーデル・ヴェイユの定理の証明のほか、任意の体上での代数幾何学の研究など）といえるだろう。1950年代後半以降のアレクサンドル・グロタンディークらによるスキーム論およびそれに関連する各種理論の発展により、爆発的な発展を遂げ、現在では数論の中核に位置しているといえる。
応用
かつて数論は純粋数学の典型であるとされ、実応用を全く想定せずに研究が進められることが普通であったが、コンピュータの発展に伴って幅広い分野に応用を持つようになった。
応用例
- 公開鍵暗号 - 暗号化と復号化を異なった鍵（数値）で行う方法。一つの鍵で復号化と暗号化を行う場合と比べ安全性と応用性が高まる。
- 固定ギア自転車のスキッドポイントの分散化 - 前後のギアの関係を互いに素にすると、スキッドポイントと呼ばれる摩耗点が最も分散化される（タイヤの寿命が向上する）。
数論への言及
カール・フリードリヒ・ガウスは次のような言葉を残している。
数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である。
歴史
→「数論の年表」も参照
古代ギリシア
数論はヘレニズム後期（紀元3世紀）のギリシア人数学者らに最も好まれた研究対象で、エジプトのアレクサンドリアで活動したアレクサンドリアのディオファントスは、自らの名が（後に）冠されたディオファントス方程式の様々な特殊ケースを研究したことで知られている。
ディオファントスはまた、線型な不定方程式の整数解を求める方法について考察した。線型不定方程式とは、解の単一の離散集合を得るには情報が不足している方程式を指す。例えば、
数多く存在するが、その多くに素数分布予測の難しさが絡んでいると思われる。問題そのものは初等的に記述できても本質的に現代数学の概念を要請するものが多い。
関連文献
和書
- フランク・B・ギブニー 編「整数論」『ブリタニカ国際大百科事典』 11巻（改訂版）、TBSブリタニカ、1984年、145-155頁。NDLJP:12405054。
- 高木貞治：「初等整数論講義」第2版、共立出版（1971年10月15日)。
- 北村泰一：「数論入門（改訂版）」、槇書店、ISBN 4-8375-0562-7 (1986年12月20日).※ 初版は1965年8月15日。
- 本橋洋一:「解析的整数論 I」、「解析的整数論 II」, 朝倉書店, 東京 2009/2011. ISBN 978-4-254-11821-6 / ISBN 978-4-254-11822-3.
- 齋藤秀司：「整数論」、共立出版（共立講座21世紀の数学 20）、ISBN 4-320-01572-X (1997年5月25日).
- 中島匠一：「代数と数論の基礎」、共立出版（共立講座21世紀の数学 9）、ISBN 4-320-01561-4 (2000年11月25日).
- 加藤和也、黒川信重、齋藤毅：「数輪 I：Fermatの夢と類体論」、岩波書店、ISBN 4-00-005527-5 (2005年1月7日).
- 黒川信重、栗原将人、齋藤毅：「数論 II：岩澤理論と保型形式」、岩波書店、ISBN 4-00-005528-3 (2005年2月8日).
- J. ノイキルヒ、足立恒雄(監訳)、梅垣敦紀(訳)：「代数的整数論」、丸善出版、ISBN 978-4-621-06287-6 (2012年7月17日).
- 山崎隆雄：「初等整数論：数論幾何への誘い」、共立出版、ISBN 978-4-320-11179-0 (2015年5月25日).
- Richard K. Guy(著)、金光滋(訳)：「数論<未解決問題>の辞典」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11129-3 (2010年11月5日).
洋書
- Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929
- Dedekind, Richard (1963). Essays on the Theory of Numbers. Cambridge University Press. ISBN 0-486-21010-3
- Davenport, Harold (1999). The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7th ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-63446-6
- Guy, Richard K. (1981). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90593-6
- Hardy, G. H. and Wright, E. M. (1980). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-853171-0
- Niven, Ivan, Zuckerman, Herbert S. and Montgomery, Hugh L. (1991). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). Wiley Text Books. ISBN 0-471-62546-9
- Ore, Oystein (1948). Number Theory and Its History. Dover Publications, Inc.. ISBN 0-486-65620-9
- Smith, David. History of Modern Mathematics (1906) (adapted public domain text)
- Dutta, Amartya Kumar (2002). 'Diophantine equations: The Kuttaka', Resonance - Journal of Science Education.
- O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F. (2004). 'Arabic/Islamic mathematics', MacTutor History of Mathematics archive.
- O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F. (2004). 'Index of Ancient Indian mathematics', MacTutor History of Mathematics archive.
- O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F. (2004). 'Numbers and Number Theory Index', MacTutor History of Mathematics archive.
- Kraeft, Uwe, (2000–2010). 'Studies in Number Theory', 22 vols., last vol. 'Additive Representations of Integers in Number Theory', Shaker Verlag, Aachen, ISBN 978-3-8322-8793-1.
脚注
- ^ a b c O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Thabit (831-901)”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- ^ a b O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Al-Baghdadi (980-1037)”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- ^ a b c d O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Al-Farisi (1260-1320)”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- ^ Rashed, Roshdi (2002-09-11) (英語). Encyclopedia of the History of Arabic Science. Routledge. p. 385. ISBN 9781134977246. "The famous physicist and mathematician Kamal al-Din al-Farisi compiled a paper in which he set out deliberately to prove the theorem of Ibn Qurra in an algebraic way. This forced him to an understanding of the first arithmetical functions and to a full preparation which led him to state for the first time the fundamental theorem of arithmetic."
- ^ Costello, PAtrick (2002-05-01). “New amicable pairs of type $(2,2)$ and type $(3,2)$”. Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 72 (241): 489–497. doi:10.1090/S0025-5718-02-01414-X 2007年4月19日閲覧。.
- ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F, Fibonacci, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
- ^ Duthel,Heinz:Squaring the circle-thinking the unthinkable",p.84
外部リンク
- Number Theory Web
- A Computational Introduction to Number Theory and Algebra by Victor Shoup
- 『数論』 - コトバンク
- 『初等整数論講義 第 版』高木貞治著、共立出版、2019年刊（第2版44刷）
- (過去の)整数論サマースクール（Number Theory Summer School）資料
- Number Theoryのページへのリンク
