計算数論

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計算数論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/21 09:40 UTC 版)

計算数論（アルゴリズム整数論、計算整数論などとも）は、主に整数に関係する問題、たとえば素数判定と素因数分解、ディオファントス方程式の解の発見、数論幾何学における明示的方法など、数論と数論幾何学の問題を調査して解決する計算方法（主にアルゴリズム）についての研究である^[1]。計算数論は、RSA暗号、楕円曲線暗号、ポスト量子暗号などの暗号理論に応用があり、リーマン予想、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想、abc予想、モジュラー性予想、佐藤・テイト予想、ラングランズ・プログラムの明示的側面などの、数論における予想と未解決問題の研究に使用される^[1][2][3]。

ソフトウェアパッケージ

• Magma
• SageMath
• Number Theory Library
• PARI/GP
• Fast Library for Number Theory
• NZMATH — Python Calculator on Number Theory

関連文献

• Michael E. Pohst (1993): Computational Algebraic Number Theory, Springer, ISBN 978-3-0348-8589-8
• Eric Bach; Jeffrey Shallit (1996). Algorithmic Number Theory, Volume 1: Efficient Algorithms. MIT Press. ISBN 0-262-02405-5. https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/ant.html 

• David M. Bressoud (1989). Factorisation and Primality Testing. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97040-1. https://archive.org/details/factorizationpri0000bres 

• Joe P. Buhler; Peter Stevenhagen, eds (2008). Algorithmic Number Theory: Lattices, Number Fields, Curves and Cryptography. MSRI Publications. 44. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-20833-8. Zbl 1154.11002. https://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/number-theory/algorithmic-number-theory-lattices-number-fields-curves-and-cryptography?format=HB&isbn=9780521808545 

• Henri Cohen (1993). A Course In Computational Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 138. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02945-9. ISBN 0-387-55640-0 

• Henri Cohen (2000). Advanced Topics in Computational Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 193. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4419-8489-0. ISBN 0-387-98727-4 

• Henri Cohen (2007). Number Theory – Volume I: Tools and Diophantine Equations. Graduate Texts in Mathematics. 239. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-0-387-49923-9. ISBN 978-0-387-49922-2 

• Henri Cohen (2007). Number Theory – Volume II: Analytic and Modern Tools. Graduate Texts in Mathematics. 240. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-0-387-49894-2. ISBN 978-0-387-49893-5 

• Richard Crandall; Carl Pomerance (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4684-9316-0. ISBN 0-387-94777-9  ※ 2005年に第2版が出ている。

• Hans Riesel (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Progress in Mathematics. 126 (second ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-3743-5. Zbl 0821.11001 

• Victor Shoup (2012). A Computational Introduction to Number Theory and Algebra. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139165464. ISBN 9781139165464 

• Samuel S. Wagstaff, Jr. (2013). The Joy of Factoring. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1048-3. http://www.ams.org/bookpages/stml-68 
• Peter Giblin (1993): Primes and Programming: An Introduction to Number Theory with Computing, Cambridge University Press, ISBN 0-521-40988-8
• Nigel P. Smart (1998): The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations, Cambridge University Press, ISBN 0-521-64633-2
• Ramanujachary Kumanduri and Cristina Romero(1998): Number Theory with Computer Applications, Prentice Hall, ISBN 0-13-801812-X
• Fernando Rodriguez Villegas(2007): Experimental Number Theory, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-922730-3
• Harold M. Edwards (2008): Higher Arithmetic: An Algorithmic Introduction to Number Theory, American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-2153-3
• Lasse Rempe-Gillen and Rebecca Waldecker (2014). Primality Testing for Beginners. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9883-3

日本語関連文献リスト（構築中）：

• 和田秀男：「[改訂版] コンピュータと素因子分解」、星雲社、ISBN 4-7952-6889-4 (1999年4月2日). ※ 初版は1987年10月20日。
• 木田裕司、牧野潔夫：「UBASICによる コンピュータ整数論」、日本評論社、ISBN 4-535-60014-7 (1994年6月20日)。
• Paulo Ribenboim、吾郷孝視(訳)：「素数の世界：その探索と発見」、共立出版、4-320-01484-7 (1995年1月25日)。 ※ 原題は "The Little Book of Big Primes"。
• Chris K. Caldwell (編著)、SOJIN（編訳）：「素数大百科」、共立出版、ISBN 4-320-01759-5 (2004年2月29日)。※ Web Page の "The Prime Pages" を元に再構成した本。
• R. Crandall and C. Pomerance、和田秀男（監訳）: 「素数全書：計算からのアプローチ」、朝倉出版、ISBN 978-4-254-11128-6 (2010年9月10日).　※ 原著は Prime Numbers: A Computational Perspective, 2nd Ed., Springer (2005)。
• Richard K. Guy(著)、金光滋(訳)：「数論＜未解決問題＞の辞典」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11129-3 (2010年11月5日). ※ 原著は Unsolved Problems in Number Theory, 3rd Ed., Springer (2004)
• 中村憲：「数論アルゴリズム」、朝倉書店（開かれた数学 2)、ISBN 978-4-254-11732-5 (2009年9月25日)．
• 長谷川雄之：「数論アルゴリズムの数学的基礎」、学術図書出版、ISBN 978-4-7806-1001-7 (2022年3月30日).

出典

1. ^ ^{a b} Carl Pomerance (2009), Timothy Gowers, ed., “Computational Number Theory”, The Princeton Companion to Mathematics (Princeton University Press), https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/pcm0049.pdf 
2. ^ Eric Bach; Jeffrey Shallit (1996). Algorithmic Number Theory, Volume 1: Efficient Algorithms. MIT Press. ISBN 0-262-02405-5 
3. ^ Henri Cohen (1993). A Course In Computational Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 138. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02945-9. ISBN 0-387-55640-0 

外部リンク

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表 話 編 歴 代数曲線のトピックス
有理曲線	円錐曲線は5点で決まる（英語版） 射影直線 有理正規曲線（英語版） リーマン球面 捩れ三次曲線（英語版）
楕円曲線	解析的理論 楕円関数 楕円積分 周期の基本対（英語版） モジュラー形式 数論的理論 楕円曲線上の点の数え上げ（英語版） Division polynomials（英語版） 楕円曲線のハッセの定理 メイザーの捩れ定理（英語版） モジュラー楕円曲線（英語版） モジュラー定理（谷山-志村予想） モジュラー性定理 モーデル–ヴェイユの定理 Nagell–Lutz の定理（英語版） 超特異楕円曲線（英語版） Schoof のアルゴリズム（英語版） スクーフ・エルキス・アトキン・アルゴリズム 応用 楕円曲線暗号 Elliptic curve primality（英語版）
Higher genus	De Franchis の定理（英語版） ファルティングスの定理 フルヴィッツの自己同型定理（英語版） フルヴィッツ曲面（英語版） 超楕円曲線
平面曲線	AF+BG 定理（英語版） ベズーの定理 複接線（英語版） ケイリー＝バッハラッハの定理 円錐断面 クラメールのパラドックス 平面三次曲線 フェルマー曲線（英語版） 種数-次数公式（英語版） ヒルベルトの第16問題（英語版） 曲線についての永田の予想（英語版） プリュッカー公式（英語版） 平面四次曲線（英語版） 実平面曲線（英語版）
リーマン面	ベールイの定理 Bolza 曲面（英語版） Bring の曲線（英語版） コンパクトリーマン面（英語版） Dessin d'enfant Differential of the first kind（英語版） Klein quartic（英語版） リーマンの存在定理 リーマン–ロッホの定理 タイヒミュラー空間（英語版） Torelli の定理（英語版）
構成	双対曲線（英語版） 極線（英語版） Smooth completion（英語版）
曲線の構造	曲線の因子 アーベル・ヤコビ写像 Brill–Noether の理論（英語版） 特別因子に関するクリフォードの定理（英語版） Gonality of an algebraic curve（英語版） ヤコビ多様体 リーマン–ロッホの定理 ワイエルシュトラス点（英語版） ヴェイユの相互律（英語版） モジュライ ELSV 公式（英語版） グロモフ–ウィッテン不変量 ホッジ束（英語版） 代数曲線のモジュライ（英語版） 安定曲線 射 Hasse–Witt 行列（英語版） リーマン–フルヴィッツの公式 プリム多様体（英語版） ウェーバーの定理（英語版） 特異点 孤立点（英語版） 結節点（英語版） 尖点 デルタ不変量（英語版） 二重尖点（英語版） ベクトル束 Birkhoff–Grothendieck の定理（英語版） 安定ベクトル束（英語版） 代数曲線上のベクトル束（英語版）

表 話 編 歴 数論の主要なトピック
分野	整数論 代数的整数論 解析的整数論 幾何学的数論（英語版） 計算数論 超越数論（英語版） 組合せ論的整数論（英語版） 数論幾何学 数論トポロジー 数論力学
主要概念	数 自然数 素数 有理数 無理数 代数的数 超越数 p 進数 算術 合同算術 数論的関数
諸概念	二次形式 モジュラー形式 L関数 ディオファントス方程式 ディオファントス近似 連分数
日本人研究者	伊原康隆 織田孝幸 加藤和也 斎藤秀司 斎藤毅 黒川信重 志村五郎 佐藤幹夫 辻雄
海外の研究者	シュリニヴァーサ・ラマヌジャン テレンス・タオ ジョージ・アンドリューズ
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