ケイリー=バッハラッハの定理とは? わかりやすく解説

Weblio 辞書 > 辞書・百科事典 > 百科事典 > ケイリー=バッハラッハの定理の意味・解説 

ケイリー=バッハラッハの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2025/04/20 03:55 UTC 版)

ケイリー=バッハラッハの定理の特別な場合。C1,C2が3本の直線に退化している。

ケイリー=バッハラッハの定理(ケイリー=バッハラッハのていり[1]: Cayley–Bacharach theorem)は数学における射影平面P2上の三次曲線に関する定理

射影平面上の2つの3次曲線C1,C2が、異なる9つの点で交わっているとする。この9点のうち8点を通る3次曲線は他の9番目の点を通る。

ケイリー=バッハラッハの本質的な形式は次のように導かれる。

与えられた8点P1, ..., P8を通る代数的閉体上のすべての3次曲線Cは、P1, ..., P8に依存するある点P9を通る。

ミシェル・シャールは最初に円錐曲線の場合の定理を証明した。その後アーサー・ケイリーイザーク・バッハラッハによって一般化された[2]。ケイリーの証明には、重大な見落としがあった。バッハラッハはアレクサンダー・フォン・ブリルマックス・ネーター英語版の研究に基づき、ケイリーの証明を改善し、1881年に正しい一般化を示した[3]

詳細

三次曲線は二次曲線を含むため、P1, ..., P8のうち7点が円錐曲線上にあるならば、9つ目の点をその円錐曲線上に選ぶことができる。そうでない場合は次のようになる。

P1, ..., P8のどの7点も同一円錐曲線上になければ、(二重点では重複を持つ)P1, ..., P8(のアフィン凸錐上)で0を取る三次斉次多項式ベクトル空間次元は2である。

この場合、P1, ..., P8を通るすべての3次曲線は、同様にP1, ..., P8を通る異なる2つの三次曲線の9番目の交点を通る。ベズーの定理によれば2つの3次曲線には代数的閉包上に必ず9つの交点が存在する。

円錐曲線が1,2直線に退化したならば、退化した円錐曲線上の7点のうち、少なくとも4点は共線である。よって次の結果を得る。

8点P1, ..., P8のうち、どの7点も非退化円錐曲線上になく、どの4点も共線でなければ、P1, ..., P8(のアフィン凸錐上)で0を取る三次斉次多項式ベクトル空間次元は2である。

一方で、P1, P2, P3, P4が共線で、8点P1, ..., P8のうちどの7点も非退化円錐曲線上にない場合を考えると、8点のうちどの5点も共線でなく、また、P5, P6, P7, P8のうちどの3点も共線でない。3次曲線は直線を含むから、P1, ..., P8(のアフィン凸錐上)で0を取る三次斉次多項式のベクトル空間は、P5, P6, P7, P8(のアフィン凸錐上)で0を取る2次元の二次斎次多項式ベクトル空間と同型である。

2次元の結果の条件とは異なるものの、どちらも、一般の位置にある場合よりも弱い結果である。上記の結果は3点が共線であること、6点が同一円錐曲線上にあることを許す場合である。 ケイリー=バッハラッハの定理の成立条件は、ただ9点を通る3次曲線の族であることが条件である。

ベズーの定理によれば、代数的閉体上の既約でない異なる2つの3次曲線は重複を含め、常に9点で交わる。したがって、ケイリー=バッハラッハの定理は、どの7点も同一円錐曲線にない8つの交点を与えたとき、曲線の族内の任意の2つの交点の最後の点は不動であることを主張する。

応用

ケイリー=バッハラッハの定理の特殊な場合にパスカルの定理がある。パスカルの定理は円錐曲線上に6点P1, ..., P6を取ったとき、P1P2P4P5P2P3P5P6P3P4P6P1の交点は共線であるという定理である。3次曲線の1つを3直線に退化させ、6つの交点を円錐曲線上に配置すれば、(もう一方の3次曲線をその円錐曲線とある1本の直線として)ケイリー=バッハラッハの定理より残り3つの交点が共線になる。

パップスの六角形定理は、上述の円錐曲線をさらに2直線に退化させることで示される。

ケイリー=バッハラッハの定理の上記の3番目の場合は楕円曲線の点の加法性により証明できる。1つめの3次曲線を3直線BC, O(A+B), A(B+C)とする。8点A, B, C, A+B, -A-B, B+C, -B-C, Oは、2つの3次曲線の共通の点である。9つ目の点は-A-(B+C)=-(A+B)-Cとなって一致する。

次元の勘定

ケイリー=バッハラッハの定理と、それが3次曲線で起きる理由は次元の勘定英語版から説明できる。9つの点は一意的な三次曲線を決定する。したがって、9つの点が2つ以上の3次曲線上にある場合、つまり2つの3次曲線の(3 × 3 = 9つの)交点である場合、この点らは一般の位置英語版にはないこと、1次元の過剰な決定英語版 があることを意味する。そして、この9点を通る3次曲線は"eight implies nine"という特性を満たすように、さらなる条件を満たす。これを一般に過剰度superabundance)という。過剰度については曲面のリーマン・ロッホの定理を見よ。

詳細

形式的には、まず、d次の2つの曲線が与えられたとき、方程式の線型結合でそれらがd次の(1変数の線形システム)を成すことを考える。これは曲線の母数空間英語版(あるいは単に射影空間)上の射影直線を決定する2点に対応する。

ケイリー=バッハラッハの定理は高次においても起こる。これはd次の2曲線の交点の個数d 2が 次数dの曲線を決定する点の個数より早く成長するためである。次数dの曲線を決定する点の個数は次式で与えられる。

この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注による参照が不十分であるため、情報源が依然不明確です 適切な位置に脚注を追加して、記事の信頼性向上にご協力ください。2024年8月

外部リンク




英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  
  •  ケイリー=バッハラッハの定理のページへのリンク

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「ケイリー=バッハラッハの定理」の関連用語

ケイリー=バッハラッハの定理のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



ケイリー=バッハラッハの定理のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアのケイリー=バッハラッハの定理 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS