パスカルの定理

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パスカルの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/10/11 10:17 UTC 版)

円に内接する六角形ABCDEFの対辺の延長線の交点M、N、Pは一直線上にある。

パスカルの定理（パスカルのていり、英: Pscal's theorem , hexagrammum mysticum theorem）は、ブレーズ・パスカルが16歳のときに発見した円錐曲線に関する射影幾何学の定理である。

六角形ABCDEFの並び方を変えたもの。同じ色は対辺同士であることを表す。この場合はG、H、Kが一直線上にあることが定理の主張である。

円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。更に拡張して、二次曲線上に異なる六つの点 P₁ ～ P₆をとると、直線 P₁P₂ と P₄P₅ の交点 Q₁、P₂P₃ と P₅P₆ の交点 Q₂、P₃P₄ と P₆P₁ の交点 Q₃ は同一直線上にある。この直線はパスカル線（Pascal line）と呼ばれる。 定理の証明の一つはうまく補助円を書くことで円の性質と三角形の相似だけで解くことができる。補助円を使わない証明も存在する。ブレーズ・パスカルの証明は歴史に残されていない。

また、この定理はユークリッド平面上でも有効であるが、平行など特別な場合は別途調整を行う必要がある。円錐曲線を2直線に退化させればパップスの六角形定理を得る。

関連する定理

この定理の双対、ブリアンションの定理によるとP_iにおける接線と P_j における接線の交点を R_ij とすると、3 直線 R₁₂R₄₅、R₂₃R₅₆、R₃₄R₆₁ は一点で交わる。

パスカルの定理はケイリー＝バッハラッハの定理の特殊な場合である。

パスカルの定理を4点に対して適応する。円錐曲線上の4点A,B,C,Dについて、六角形の対辺の交点の AB ∩ CD, BC ∩ DAと、対頂点の組(A, C)と (B, D)の接線の交点の延べ4点は共線である。これは、極と極線の関係と接触三角形の特性を用いて、証明できる。

パスカルの定理の逆はブライケンリッジ-マクローリンの定理として知られる。

参考文献

• Biggs, N. L. (1981), “T. P. Kirkman, mathematician”, Bulletin of the London Mathematical Society 13 (2): 97–120, doi:10.1112/blms/13.2.97, MR608093 

• Conway, John; Ryba, Alex (2012), “The Pascal Mysticum Demystified”, The Mathematical Intelligencer 34 (3): 4–8, doi:10.1007/s00283-012-9301-4 
• Coxeter, H. S. M.; Greitzer, Samuel L. (1967), Geometry Revisited, Washington, DC: Mathematical Association of America, p. 76 
• Guggenheimer, Heinrich W. (1967), Plane geometry and its groups, San Francisco, Calif.: Holden–Day Inc., MR 0213943 
• Mills, Stella (March 1984), “Note on the Braikenridge–Maclaurin Theorem”, Notes and Records of the Royal Society of London (The Royal Society) 38 (2): 235–240, doi:10.1098/rsnr.1984.0014, JSTOR 531819, https://jstor.org/stable/531819 
• Modenov, P.S.; Parkhomenko, A.S. (2001), “Pascal theorem”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/default.htm 
• Pascal, Blaise (1640年). “Essay pour les coniques” (facsimile). Niedersächsiche Landesbibliothek, Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek. 21 June 2013閲覧。

• Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, New York: Dover, ISBN 0-486-64690-4, https://books.google.com/books?id=awAfO7Ff_z0C&q=smith+source+book 
• Stefanovic, Nedeljko (2010), A very simple proof of Pascal's hexagon theorem and some applications, Indian Academy of Sciences, http://www.ias.ac.in/mathsci/vol120/nov2010/pm-10-00024.PDF 
• Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, London: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, https://archive.org/details/penguindictionar0000well 
• Young, John Wesley (1930), Projective Geometry, The Carus Mathematical Monographs, Number Four, The Mathematical Association of America 
• van Yzeren, Jan (1993), “A simple proof of Pascal's hexagon theorem”, The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 100 (10): 930–931, doi:10.2307/2324214, ISSN 0002-9890, JSTOR 2324214, MR 1252929, https://jstor.org/stable/2324214 

外部リンク

• Interactive demo of Pascal's theorem (Java required) at cut-the-knot
• 60 Pascal Lines (Java required) at cut-the-knot
• The Complete Pascal Figure Graphically Presented by J. Chris Fisher and Norma Fuller (University of Regina)
• Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes (PDF; 891 kB), Uni Darmstadt, S. 29–35.
• How to Project Spherical Conics into the Plane by Yoichi Maeda (Tokai University)

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パスカルの定理

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「円 (数学)」の記事における「パスカルの定理」の解説

「ブレーズ・パスカル」も参照 円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。さらに拡張して、二次曲線上に異なる6つの点 P1～P6 を取ると、直線 P1P2 と P4P5 の交点 Q1、P2P3 と P5P6 の交点 Q2、P3P4 と P6P1 の交点 Q3 は同一直線上にある。また、Pi における接線と Pj における接線の交点を Rij とすると、3 直線 R12R45, R23R56, R34R61 は1点で交わる。一番初めの、円に内接する六角形の証明は、うまく補助円を書くことで、円の性質と三角形の相似だけですることができる。