パスカルの三角形の使用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/21 03:20 UTC 版)
「パスカルの三角形」の記事における「パスカルの三角形の使用」の解説
パスカルの三角形は、二項展開でよく使用される。例えば ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}} のそれぞれの係数は三角形の3段目の数 1 2 1 と一致する。一般に ( x + y ) n = a 0 x n + a 1 x n − 1 y + a 2 x n − 2 y 2 + ⋯ + a n − 1 x y n − 1 + a n y n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n}} とおくと、ai たちは、パスカルの三角形の n + 1 段目に並んでいる数である。このことは数学的帰納法により示すことができる。まず、n = 0 の場合は明らかである。次に、 ( x + y ) n = ∑ i = 0 n a i x n − i y i {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}} とすると、 ( x + y ) n + 1 = x ( x + y ) n + y ( x + y ) n = ∑ i = 0 n a i x n − i + 1 y i + ∑ i = 0 n a i x n − i y i + 1 = ∑ i = 0 n a i x n − i + 1 y i + ∑ i = 1 n + 1 a i − 1 x n − i + 1 y i = a 0 x n + 1 + ∑ i = 1 n a i x n − i + 1 y i + ∑ i = 1 n a i − 1 x n − i + 1 y i + a n y n + 1 = x n + 1 + ∑ i = 1 n ( a i − 1 + a i ) x n − i + 1 y i + y n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}\\&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i+1}y^{i}+\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i+1}\\&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i+1}y^{i}+\sum _{i=1}^{n+1}a_{i-1}x^{n-i+1}y^{i}\\&=a_{0}x^{n+1}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{n-i+1}y^{i}+\sum _{i=1}^{n}a_{i-1}x^{n-i+1}y^{i}+a_{n}y^{n+1}\\&=x^{n+1}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1}+a_{i})x^{n-i+1}y^{i}+y^{n+1}\end{aligned}}} となる。 この三角形の奇数の部分を塗りつぶすとシェルピンスキーのギャスケットになる。これは2で割った余りによると考えることができるが、一般に2以外の数でも、割った余りによって塗りわけると同様な別のフラクタル模様になる。 二項係数は組合せの数でもあるので、組合せ数学においてもパスカルの三角形は有用である。n 個のものから異なる k 個選ぶ選び方 nCk の値は、パスカルの三角形の (n + 1) 段目の端から (k + 1) 番目の数に等しい。1 ≤ k ≤ n − 1 の場合、これは n − 1 次元単体の k − 1 次元面の数でもある。例えば5段目の端から2番目の4は四面体（3次元単体）の頂点（0次元面）の数、3番目の6は辺（1次元面）の数、4番目の4は面（2次元面）の数である。これは四面体の場合、二つの頂点を結ぶ線分の集合は辺の集合に等しく、三つの頂点を結ぶ三角形の集合は面の集合に等しいためである。
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