パップスの六角形定理とは？わかりやすく解説

パップスの六角形定理:六角形 $AbCaBc$ に対して、点 $X,Y,Z$ が共線である（パップス線）。

アフィン形式のパップスの定理

$Ab\parallel aB,Bc\parallel bC\Rightarrow Ac\parallel aC$

アフィン形式で、ある座標設定でのパップスの定理が証明されれば、それを適当に射影することで、一般のパップスの定理を証明できる。

アフィン平面（英語版）では $g ∦ h$ と $g ∥ h$ を区別する必要がある。また、単純な証明のためには、座標設定を巧く行わなければならない。

場合1: $g, h$ が点 $S = g \cap h$ で交わる場合。図の様に座標を設定する。

$\;S=(0,0),\;A=(0,1),\;c=(1,0)\;$

アフィン形式の小定理で得る点 $U$ が $GH$ 上にある、つまり無限遠点である場合、トムセンの定理を得る。トムセンの図形は射影平面の公理の決定に大きな役割を果たす^[7]。トムセンの図形の閉形の証明は"little theorem"の証明により行われる。しかし、次のように、より簡単で直接的な証明も存在する。トムセンの定理の主張には接続、交差、平行のみが用いられるためにアフィン写像によって不変である。三角形の頂点の座標を $P = (0, 0), Q = (1, 0), R = (0, 1)$ と置く。また最初の点を $(0, λ)$ とする。6回の操作を経て最後の点が $(0, λ)$ に戻ることを証明すればよい。

トムセンの図形（三角形 $PQR$ と点 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ ）。
証明に用いる図

パップスの定理の他の主張

パップスの定理とその双対の他の特徴づけに次の主張がある。

六角形の6つの頂点が3点ずつ2本の直線上にあるとき、六角形の主対角線の交点は共線である^[8]。
9つの点を行列に書き直して、パーマネントとして評価する。1,2行目と、その6つの"対角"が共線ならば3行目も共線である。

\left|{\begin{matrix}A&B&C\\a&b&c\\X&Y&Z\end{matrix}}\right|

3つの共点線 $AB, AG, AD$ があって、 $JB, JE$ が $J$ で交わっている。また $KL$ は $AZ$ と平行である。このとき

KJ : JL :: (KJ : AG & AG : JL) :: (JD : GD & BG : JB)

である。これらは今日、等式として次の様に表される^{[注釈 4]}。

$KJ / JL = (KJ / AG)(AG / JL) = (JD / GD)(BG / JB)$

最右辺 ( $JD : GD$ と $BG : JB$ の積) は、共線点 $J, G, D, B$ に対して複比として知られるもので、 $(J, G; D, B)$ とも書かれる。つまり $A$ で交わる3線のうち、 $JD$ の取り方は複比と無関係であることが示された。

$(J, G; D, B) = (J, Z; H, E)$

直線 $JE$ が $A$ を通るどの辺（直線）にあたるかは重要ではない。特に図を変えれば、以下の様になることもある（補題X）。

先述のように $(J, G; D, B) = (J, Z; H, E)$ である。パップスはこれを証明しなかったが、補題Xはこの構図の逆「2つの複比が等しく図の様に $BE, DH$ が $A$ で交わるとすれば、点 $G, A, Z$ は共線である」を表している。

$JK, AG$ が交わらない場合は複比を $(J, \infty; K, L) = (J, G; D, B)$ の様に書くことができる。パップスはこれを補題XIで示している。

当時の記法では DE.ZH : EZ.HD :: GB : BEとなるが、これは

$(D, Z; E, H) = (\infty, B; E, G)$

という表現に等しい。

次の図は補題XIIである。

この図は補題XIIIと意味する所は同じだが $BA, DG$ が辺の延長にある点 $N$ で交わっている。どのような場合でも、 $G$ を通る直線が $A$ を通る直線と交わっているとすれば (そして複比の不変性を利用すれば）、補題IIIとXIを次のように得る。

$(G, J; E, H) = (G, D; \infty, Z)$

$D$ を通る直線が $B$ を通る直線と交わっているとすれば、

$(L, D; E, K) = (G, D; \infty, Z)$

を得る。したがって $(E, H; J, G) = (E, K; D, L)$ である。また補題Xより、 $H, M, K$ は共線である。これは、六角形 $ADEGBZ$ の主対角線の交点の共線を表している。

補題XVとXVIIは、直線 $HK, BG$ の交点を $M$ として、 $A, M, G$ の共線を示している。これは六角形 $BEKHZG$ の主対角線の交点の共線を示している。

脚注

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注釈

^ ただし、 $ABC$ と $abc$ で配景が起こる、つまり $Aa, Bb, Cc$ が共点ならば、パップス線と $ABC$ と $abc$ も共点である。
^ (Dembowski 1968, pg. 159, footnote 1)によれば, ヘッセンベルクHessenberg (1905)の元の証明は完全ではなかった。彼はデザルグ配置で起こるいくつかの問題を見逃した。完全な証明はCronheim 1953によって行われた。
^ Heath (Vol. II, p. 421)はこれらの性質を引用している。後の2つは前の二つの逆として知られる。 Kline (p. 128)は性質139のみを引用している。性質の番号付けはHultschによる。
^ 古代ギリシャでこのように記述された理由に、当時は比というものは、数論や幾何学の対象として見られていなかったことが挙げられる。また、現在の私たちの「等しい」と言う概念は幾何学的に比にも応用できるが、古代ギリシャ人は今日でいう合同として「等しい」という概念を扱っていた。このような意味で線分は等価ではなく、比は等しいとは考えなかった。

出典

^ 細川藤右衛門『射影幾何学』岩波書店、1943年、89頁。NDLJP:1063403。
^ 『近世幾何学 (帝国百科全書 ; 第179編)』藤田外次郎、1908年、150頁。NDLJP:828609。
^ ^a ^b Coxeter 1969, pp. 236–7
^ Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie, BI-Taschenbuch, 1969, p. 93
^ ^a ^b 窪田忠彦『幾何学の基礎第3版 (岩波全書 ; 第104)』岩波書店、1946年、52-60,101-102,127頁。NDLJP:1211294。
^ ^a ^b Coxeter 1969, p. 238
^ W. Blaschke: Projektive Geometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869320, S. 190
^ Coxeter 1969, p. 231
^ ^a ^b Coxeter 1969, p. 233
^ Whicher 1971, chapter 14

参考文献

Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 123930
Cronheim, A. (1953), “A proof of Hessenberg's theorem”, Proceedings of the American Mathematical Society 4 (2): 219–221, doi:10.2307/2031794, JSTOR 2031794, https://jstor.org/stable/2031794
Dembowski, Peter (1968), Finite Geometries, Berlin: Springer-Verlag
Heath, Thomas (1981) [1921], A History of Greek Mathematics, New York: Dover Publications
Hessenberg, Gerhard (1905), “Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen”, Mathematische Annalen (Berlin / Heidelberg: Springer) 61 (2): 161–172, doi:10.1007/BF01457558, ISSN 1432-1807
Hultsch, Fridericus (1877), Pappi Alexandrini Collectionis Quae Supersunt, Berlin
Kline, Morris (1972), Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, New York: Oxford University Press
Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2019), “The axiomatic destiny of the theorems of Pappus and Desargues”, in Dani, S. G.; Papadopoulos, A., Geometry in history, Springer, pp. 355–399, ISBN 978-3-030-13611-6
WhicherOlive『Projective Geometry』Rudolph Steiner Press、1971年。 ISBN 0-85440-245-4。

外部リンク

Pappus's hexagon theorem at cut-the-knot
Dual to Pappus's hexagon theorem at cut-the-knot
Pappus’s Theorem: Nine proofs and three variations
『平面幾何の美しい定理4つ』 - 高校数学の美しい物語

[5] ただし、 $ABC$ と $abc$ で配景が起こる、つまり $Aa, Bb, Cc$ が共点ならば、パップス線と $ABC$ と $abc$ も共点である。

[8] (Dembowski 1968, pg. 159, footnote 1)によれば, ヘッセンベルクHessenberg (1905)の元の証明は完全ではなかった。彼はデザルグ配置で起こるいくつかの問題を見逃した。完全な証明はCronheim 1953によって行われた。

[13] Heath (Vol. II, p. 421)はこれらの性質を引用している。後の2つは前の二つの逆として知られる。 Kline (p. 128)は性質139のみを引用している。性質の番号付けはHultschによる。

[14] 古代ギリシャでこのように記述された理由に、当時は比というものは、数論や幾何学の対象として見られていなかったことが挙げられる。また、現在の私たちの「等しい」と言う概念は幾何学的に比にも応用できるが、古代ギリシャ人は今日でいう合同として「等しい」という概念を扱っていた。このような意味で線分は等価ではなく、比は等しいとは考えなかった。

[1] 細川藤右衛門『射影幾何学』岩波書店、1943年、89頁。NDLJP:1063403。

[2] 『近世幾何学 (帝国百科全書 ; 第179編)』藤田外次郎、1908年、150頁。NDLJP:828609。

[:0-3] Coxeter 1969, pp. 236–7

[4] Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie, BI-Taschenbuch, 1969, p. 93

[:2-6] 窪田忠彦『幾何学の基礎第3版 (岩波全書 ; 第104)』岩波書店、1946年、52-60,101-102,127頁。NDLJP:1211294。

[Coxeter-7] Coxeter 1969, p. 238

[9] W. Blaschke: Projektive Geometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869320, S. 190

[10] Coxeter 1969, p. 231

[:1-11] Coxeter 1969, p. 233

[12] Whicher 1971, chapter 14

[7]

[8]

[注釈 4]

パップスの六角形定理とは？わかりやすく解説