トムセンの定理とは？わかりやすく解説

トムセンの定理（トムセンのていり、英: Thomsen's theorem）は、ゲルハルト・トムセンに因んで命名された初等幾何学の定理である。三角形の辺に平行な線から成る特定の折線（英語版）が閉曲線となることを主張する^[1]。

$△ ABC$ の辺（またはその延長） $BC$ 上に点 $P 1$ をとる。 $P 1$ を通り $CA$ と平行な直線と $AB$ の交点を $P 2$ 、 $P 2$ を通り $BC$ と平行な直線と $CA$ の交点を $P 3$ 、 $P 3$ を通り $AB$ と平行な直線と $BC$ の交点を $P 4$ 、 $P 4$ を通り $CA$ と平行な直線と $AB$ の交点を $P 5$ 、 $P 5$ を通り $BC$ と平行な直線と $CA$ の交点を $P 6$ とする。 $P 6$ を通り $AB$ と平行な直線と $BC$ の交点は $P 1$ である。つまり折れ線 $P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 1$ は閉じる。また、いずれかの点が辺の中点である場合、その連鎖の長さは3になる。

また $P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6$ は同一楕円上にある。

$k={\frac {BP_{1}}{BC}}={\biggl (}{\frac {CP_{2}}{CA}}={\frac {AP_{3}}{AB}}{\biggr )}$

としてその面積は

${\frac {4\pi }{3k^{2}-3k+1}}S$

である。ただし $S$ は三角形の面積。楕円の中心は三角形の重心。 $k =1/2$ のときシュタイナーの内接楕円、 $k =0,1$ のときシュタイナーの外接楕円である^[2]。

パップスの六角形定理の双対と同値な命題である^[3]。

出典

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^ “Satz von Thomsen” (ドイツ語). Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus. (2004). ISBN 3-411-04275-3
^ Weisstein, Eric W. "Thomsen's Figure". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Blaschke, Wilhelm (1954). “Projektive Geometrie” (ドイツ語). SpringerLink. doi:10.1007/978-3-0348-6932-4.