楕円曲線のハッセの定理とは? わかりやすく解説

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楕円曲線のハッセの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/30 09:29 UTC 版)

楕円曲線のハッセの定理英語: Hasse's theorem on elliptic curves)は、ハッセの境界とも呼ばれ、有限体上の楕円曲線の持つ点の数の、上と下からの評価を与える。

位数 q の有限体上の楕円曲線 E の点の数が N であるとき、ヘルムート・ハッセ(Helmut Hasse)の結果は、その個数が

であることを示している。つまり、この解釈は、Nq + 1 (これは同じ体の上の射影直線(projective line)の点の数である)と異なっていれば、この差「エラー項」は、絶対値が である2つの複素数の和である。

この結果は、エミール・アルティン(Emil Artin)により彼の論文で元々予想されたものである[1]。これは1933年にハッセ(Hasse)により証明され、証明は一連の論文で出版された[2]

ハッセの定理は、E の局所ゼータ函数の根の絶対値の決定と同値である。この形で、楕円曲線に付随する函数体リーマン予想との類似を理解することができる。

ハッセ・ヴェイユ境界

ハッセ境界の高次種数の代数曲線への一般化はハッセ・ヴェイユ境界である。これは、有限体上の曲線の点の数の範囲をもたらす。位数が q の有限体 上の種数 g の曲線 C の点の数を とすると、

となる。

この結果は再び、曲線 C の局所ゼータ函数の決定と同値であり、この曲線に付随する函数体についてのリーマン予想の類似である。

ハッセ・ヴェイユ境界は、g = 1 である楕円曲線へ適用したときの普通のハッセ境界を導く。

ハッセ・ヴェイユ境界は、元々はアンドレ・ヴェイユ(André Weil)が1949年に提唱したヴェイユ予想の結果である[3]。この予想は1974にピエール・ドリーニュ(Pierre Deligne)より証明された。[4]

参考文献

  1. ^ Artin, Emil (1924), “Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil”, Mathematische Zeitschrift 19 (1): 207–246, doi:10.1007/BF01181075, ISSN 0025-5874, MR1544652, Zbl 51.0144.05 
  2. ^ Hasse, Helmut (1936), “Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I, II & III”, Crelle's Journal 1936 (175), doi:10.1515/crll.1936.175.193, ISSN 0075-4102, Zbl 0014.14903 
  3. ^ Weil, André (1949), “Numbers of solutions of equations in finite fields”, Bulletin of the American Mathematical Society 55 (5): 497–508, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4, ISSN 0002-9904, MR0029393, http://www.ams.org/bull/1949-55-05/S0002-9904-1949-09219-4/home.html 
  4. ^ Deligne, Pierre (1974), “La Conjecture de Weil: I”, Publications Mathématiques de l'IHÉS 43: 273–307, doi:10.1007/BF02684373, ISSN 0073-8301, MR340258, Zbl 0287.14001, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0 

参照項目

参考文献




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