点竄術とは? わかりやすく解説

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てんざん‐じゅつ【点×竄術】

読み方:てんざんじゅつ

和算の一。江戸時代関孝和(せきたかかず)が中国天元術改良して作り出した筆算式の代数術。点竄


点竄術

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/14 06:57 UTC 版)

関孝和」の記事における「点竄術」の解説

関の最大業績は、天元術革新して傍書法・点竄術を確立したことである。これは記号法の改良理論前進双方含み、後に和算で高度な数学展開するための基礎提供した天元術中国発達した代数的解法である。求める数を未知数天元の一と呼ぶ)とし、演算施して方程式立てる。問題を1元方程式帰着できれば次数拘わらず算木によるホーナー法近似的に解けた。しかし明代に入ると中国では天元術衰えもっぱら李氏朝鮮継承されてゆく。朝鮮での発展日本への流入過程今日でも不明な点が多い。日本では17世紀入ってから、主に京阪和算家橋本正数沢口一之らによって熱心に研究された。沢口の『古今算法記』(寛文10年1670年)は、天元術学習がほぼ完了したことを示している。 天元術には多変数の高次方程式扱えない欠点があった。これは未知数記号ではなく算木を置く場所で表現しているからで、例えば (1 3 4) の配置1変数の多項式 1 + 3 x + 4 x 2 {\displaystyle 1+3x+4x^{2}} または多変数の1次式 x + 3 y + 4 z {\displaystyle x+3y+4z} のいずれかを表す。したがって2個目以降未知数文章による議論消去してから、天元術用いらねばならなかった。 『古今算法記』巻末15問の未解決問題遺題)はまさに多変数の方程式を必要とした。関は『発微算法』(延宝2年1674年)でそれらすべての解を与えている。それは傍書法、すなわち算木による数ではなくの上文字によって算式論じ代数筆算用い、2個目以降未知数文字表して多変数の方程式表現し、それを点竄術で処理して求めた。 ただし『発微算法』には変数消去した後の1元方程式書かれているだけで(それすらも詳細端折った解答もあった)、その背景にある傍書法一切表に現れていない加えて初期の版では若干誤りがあったため、正当性疑いを持つ者も現れた。例え佐治一平15回答のうち12誤りだと主張した実際に佐治指摘のほとんどは的外れだった)。また佐治の師にあたる田中由真は『算法明解』(延宝7年1679年)で、別の解答を関とは独立発明した点竄術・傍書法用いて与えた。 これに対して建部賢弘が『発微算法演段諺解』(貞享2年1685年)で点竄術とそれを用いた解法詳細公開し併せて若干誤りを(場合によっては注記せずに)訂正している。さらに『解伏題之法』(天和3年1683年)では終結式用いた消去一般的な理論示し加えて終結式表現するために行列式相当するもの導入した。ただし関は3次・4次の行列式正し表示与えているが、5次については符号誤りがあり、常に0になってしまう。やや後の1710年以前完成した大成算経』(建部賢明建部賢弘との共著)で、第1列についての余因子展開一般行列について正しく与えている。 類似の結果大阪井関知辰による『算法発揮』(元禄3年1690年)にも見られるまた、田中の『算学紛解』(1690年?)にもその萌芽思しき消去方法みられる。『解伏題之法』も『大成算経』も公刊されていないので、これらの研究独自になされた思われる。関と京阪和算家との交流には不明な点が多い。また『大成算経』の存在にもかかわらず、後の関流有力な和算家たちが『解伏題之法』を訂正して正しい展開式を得る研究続けていて、この理由今のところ不明である。 なおゴットフリート・ライプニッツが行列式を導入したのは関と同じ1683年ころだが、『解伏題之法』に比較して一般性に劣る。一般行列式の公式や終結式理論発見されるのは18世紀中ごろだった。先立って楊輝中国1238年? - 1298年)は『詳解九章算術』で、ジェロラモ・カルダーノは『偉大なる術』(Ars magna de Rebus Algebraicis, 1580年)で、数字係数二元一次連立方程式の解を行列式同様の計算式与えている。 この一連の研究により、数学の問題多元代数方程式表現できれば原理的に解けることになった。また中国数学以来伝統で、幾何問題ピタゴラスの定理などを用い機械的に代数落として処理していたので、これで実に広範な問題原理的に解けるようになった。 ただしこの解法実際に実行するのは多く場合計算量膨大現実的ではない。そのため『発微算法』でも方程式のみを求めていて、数値解計算には進まなかった。ある問題最終的に得られる方程式次数1458次にもなってしまい、方程式具体的に書き下すことすらできなかった。しかし以後連立高次方程式帰着される問題は、和算中心的課題ではなくなった。 また数値解析数値解求めるには、実数根の定性的性質存在範囲重根個数)を解明し効率的なアルゴリズム確立しなけらばならない。関はホーナー法収束改善するため、ある精度から先は高次の項を省略するニュートン法同値方法提案した。また重根存在条件示した。これは元の方程式とその導多項式が共通解を持つための条件にほかならず、先の消去理論の応用である。

※この「点竄術」の解説は、「関孝和」の解説の一部です。
「点竄術」を含む「関孝和」の記事については、「関孝和」の概要を参照ください。

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