quaternionとは? わかりやすく解説

Quaternion コンストラクタ

Quaternion クラス新しインスタンス初期化します。

名前空間: Microsoft.WindowsMobile.DirectX
アセンブリ: Microsoft.WindowsMobile.DirectX (microsoft.windowsmobile.directx.dll 内)
構文構文

Public Sub New ( _
    valueX As Single, _
    valueY As Single, _
    valueZ As Single, _
    valueW As Single _
)
Dim valueX As Single
Dim valueY As Single
Dim valueZ As Single
Dim valueW As Single

Dim instance As New Quaternion(valueX,
 valueY, valueZ, valueW)
public Quaternion (
    float valueX,
    float valueY,
    float valueZ,
    float valueW
)
public:
Quaternion (
    float valueX, 
    float valueY, 
    float valueZ, 
    float valueW
)
public Quaternion (
    float valueX, 
    float valueY, 
    float valueZ, 
    float valueW
)
public function Quaternion (
    valueX : float, 
    valueY : float, 
    valueZ : float, 
    valueW : float
)

パラメータ

valueX

X フィールド初期値

valueY

Y フィールド初期値

valueZ

Z フィールド初期値

valueW

W フィールド初期値

.NET Framework のセキュリティ.NET Frameworkセキュリティ
プラットフォームプラットフォーム
バージョン情報バージョン情報
参照参照
関連項目
Quaternion 構造体
Quaternion メンバ
Microsoft.WindowsMobile.DirectX 名前空間

Quaternion フィールド


パブリック フィールドパブリック フィールド

  名前 説明
パブリック フィールド Z 四元数の z 構成要素表します
参照参照

関連項目

Quaternion 構造体
Microsoft.WindowsMobile.DirectX 名前空間

その他の技術情報

Mobile Direct3D プログラミング

Quaternion プロパティ


パブリック プロパティパブリック プロパティ

  名前 説明
パブリック プロパティ Zero 空の四元数取得します
参照参照

関連項目

Quaternion 構造体
Microsoft.WindowsMobile.DirectX 名前空間

その他の技術情報

Mobile Direct3D プログラミング

Quaternion メソッド


パブリック メソッドパブリック メソッド

( プロテクト メソッド参照)
  名前 説明
パブリック メソッド Add 2 つ四元数加算します。
パブリック メソッド Conjugate 四元数共役返します
パブリック メソッド Dot 2 つ四元数ドット積返します
パブリック メソッド Equals オーバーロードされますオーバーライドされます。  
パブリック メソッド Exp オーバーロードされます四元数指数部計算します
パブリック メソッド GetHashCode オーバーライドされます現在のインスタンスハッシュ コード返します
パブリック メソッド GetType  現在のインスタンスType取得します。 ( Object から継承されます。)
パブリック メソッド Invert オーバーロードされます四元数共役させ、再正規化ます。
パブリック メソッド Length オーバーロードされます四元数長さ返します
パブリック メソッド LengthSq オーバーロードされます四元数長さ2 乗返します
パブリック メソッド Ln オーバーロードされます四元数自然対数計算します
パブリック メソッド Multiply オーバーロードされます2 つ四元数の積を計算します
パブリック メソッド Normalize オーバーロードされます四元数ノルム作成します
パブリック メソッド op_Addition Quaternion 構造体2 つインスタンス加算します。
パブリック メソッド op_Equality 指定した四元数比較し、それらが同一であるかどうか判断します
パブリック メソッド op_Inequality 指定した現在の四元数比較し、それらが異なかどうか判断します
パブリック メソッド op_Multiply オーバーロードされます2 つ四元数の積を計算します
パブリック メソッド op_Subtraction 2 つ四元数減算ます。
パブリック メソッド op_UnaryNegation 指定した四元数否定返します
パブリック メソッド ReferenceEquals  指定した複数Object インスタンス同一かどうか判断します。 ( Object から継承されます。)
パブリック メソッド RotationAxis 任意の軸を中心に回転した四元数作成します
パブリック メソッド RotationMatrix 回転行列から四元数作成します
パブリック メソッド RotationYawPitchRoll 指定したヨー角ピッチ角、およびロール角によって四元数作成します
パブリック メソッド Slerp 球面線形補間使用して 2 つ四元数の間を補間ます。
パブリック メソッド Squad 球面四角形補間使用して四元数の間を補間ます。
パブリック メソッド SquadSetup 球面四角形補間コントロール ポイント設定します
パブリック メソッド Subtract 2 つ四元数インスタンス減算ます。
パブリック メソッド ToAxisAngle 四元数回転軸回転角度を計算します
パブリック メソッド ToString  現在の Object を表す String返します。 ( Object から継承されます。)
プロテクト メソッドプロテクト メソッド
参照参照

関連項目

Quaternion 構造体
Microsoft.WindowsMobile.DirectX 名前空間

その他の技術情報

Mobile Direct3D プログラミング

Quaternion メンバ

4 次元ベクタ (x、y、z、w) を記述します

Quaternion データ型公開されるメンバを以下の表に示します


パブリック コンストラクタパブリック コンストラクタ
  名前 説明
パブリック メソッド Quaternion Quaternion クラス新しインスタンス初期化します。
パブリック フィールドパブリック フィールド
  名前 説明
パブリック フィールド Z 四元数の z 構成要素表します
パブリック プロパティパブリック プロパティ
  名前 説明
パブリック プロパティ Zero 空の四元数取得します
パブリック メソッドパブリック メソッド
( プロテクト メソッド参照)
  名前 説明
パブリック メソッド Add 2 つ四元数加算します。
パブリック メソッド Conjugate 四元数共役返します
パブリック メソッド Dot 2 つ四元数ドット積返します
パブリック メソッド Equals オーバーロードされますオーバーライドされます。  
パブリック メソッド Exp オーバーロードされます四元数指数部計算します
パブリック メソッド GetHashCode オーバーライドされます現在のインスタンスハッシュ コード返します
パブリック メソッド GetType  現在のインスタンスType取得します。 (Object から継承されます。)
パブリック メソッド Invert オーバーロードされます四元数共役させ、再正規化ます。
パブリック メソッド Length オーバーロードされます四元数長さ返します
パブリック メソッド LengthSq オーバーロードされます四元数長さ2 乗返します
パブリック メソッド Ln オーバーロードされます四元数自然対数計算します
パブリック メソッド Multiply オーバーロードされます2 つ四元数の積を計算します
パブリック メソッド Normalize オーバーロードされます四元数ノルム作成します
パブリック メソッド op_Addition Quaternion 構造体2 つインスタンス加算します。
パブリック メソッド op_Equality 指定した四元数比較し、それらが同一であるかどうか判断します
パブリック メソッド op_Inequality 指定した現在の四元数比較し、それらが異なかどうか判断します
パブリック メソッド op_Multiply オーバーロードされます2 つ四元数の積を計算します
パブリック メソッド op_Subtraction 2 つ四元数減算ます。
パブリック メソッド op_UnaryNegation 指定した四元数否定返します
パブリック メソッド ReferenceEquals  指定した複数Object インスタンス同一かどうか判断します。 (Object から継承されます。)
パブリック メソッド RotationAxis 任意の軸を中心に回転した四元数作成します
パブリック メソッド RotationMatrix 回転行列から四元数作成します
パブリック メソッド RotationYawPitchRoll 指定したヨー角ピッチ角、およびロール角によって四元数作成します
パブリック メソッド Slerp 球面線形補間使用して 2 つ四元数の間を補間ます。
パブリック メソッド Squad 球面四角形補間使用して四元数の間を補間ます。
パブリック メソッド SquadSetup 球面四角形補間コントロール ポイント設定します
パブリック メソッド Subtract 2 つ四元数インスタンス減算ます。
パブリック メソッド ToAxisAngle 四元数回転軸回転角度を計算します
パブリック メソッド ToString  現在の Object を表す String返します。 (Object から継承されます。)
プロテクト メソッドプロテクト メソッド
参照参照

関連項目

Quaternion 構造体
Microsoft.WindowsMobile.DirectX 名前空間

その他の技術情報

Mobile Direct3D プログラミング

Quaternion 構造体

4 次元ベクタ (x、y、z、w) を記述します

名前空間: Microsoft.WindowsMobile.DirectX
アセンブリ: Microsoft.WindowsMobile.DirectX (microsoft.windowsmobile.directx.dll 内)
構文構文

public struct Quaternion
public value class Quaternion
public final class Quaternion extends ValueType
JScript では、構造体使用できますが、新規に宣言することはできません。
解説解説

四元数は、3 次元回転概念4 次元回転拡張します。四元数使用すると、(x、y、z) ベクタ回り角度 theta 分だけオブジェクト回転させることができます。ここで、w = cos(theta/2) です。四元数演算は、変換回転使用する 4 × 4 行列乗算よりも効率的に計算できますまた、四元数は、オブジェクト2 つ方向の間を補間する最も効率的な回転表します

四元数は、ベクタ定義する [x, y, z] 値に 4 つ目の要素追加することによって、任意の 4-D ベクタ作成します。ただし、次の数式は、単位四元数各要素回転軸回転角度にどのように関連するかを示してます。ここで、q単位四元数 (x、y、z、w) を表し、軸は正規化されています。また、theta は、軸を中心とした反時計回り (CCW: CounterClockWise) の回転です。

q.x = sin(theta/2) * axis.x
q.y = sin(theta/2) * axis.y
q.z = sin(theta/2) * axis.z
q.w = cos(theta/2)
スレッド セーフスレッド セーフ
この型の public static (Visual Basic では Shared) メンバはすべて、スレッド セーフです。インスタンス メンバ場合は、スレッド セーフであるとは限りません。
プラットフォームプラットフォーム
バージョン情報バージョン情報
参照参照

四元数

(quaternion から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/11/28 14:15 UTC 版)

四元数の単位の乗積表
× 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k j
j j k −1 i
k k j i −1

数学における四元数(しげんすう、: quaternion)とは、複素数を拡張した体系であり、虚数単位 i, j, k を用いて

a + bi + cj + dk

と表せる数のことである。ここで、a, b, c, d実数であり、虚数単位 i, j, k は以下の関係を満たす。

四元数数の単位の積を四次元空間の 90° 回転として視覚的に表現したもの。ij = k, ji = −k, ij = −ji

歴史

ダブリンのブルーム橋にある四元数を記念する盾(北緯53度22分23秒 西経6度18分00秒 / 北緯53.37299度 西経6.30008度 / 53.37299; -6.30008)。碑文には
Here as he walked by
on the 16th of October 1843
William Rowan Hamilton
in a flash of genius discovered
the fundamental formula for
quaternion multiplication
i2 = j2 = k2 = ijk = −1
& cut it on a stone of this bridge(1843年の10月16日、ここを通りかかったウィリアム・ローワン・ハミルトンは、天才の閃きを以って四元数の乗法の基本公式(略)を思いつき、この橋の石にそれを刻んだ)
とある。

四元数の成す代数系は、1843年ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって導入された[6]。これにはオイラーの四平方恒等式(1748年)やオリンデ・ロドリゲス英語版四つの径数を用いた一般の回転のパラメータ付け英語版(1840年)などを含む重要な先駆的研究があったが、何れもその四径数回転を代数として扱ったものではなかった[7][8]ガウスもまた1819年に四元数を発見していたのだが、そのことが公表されるのは1900年になってからのことである[9]

ハミルトンは複素数座標平面におけるとして解釈できることを知っていて、三次元空間の点に対して同じことができる方法を探していた。空間の点はそれらの座標としての数の三つ組によって表すことができ、ハミルトンはそれらの三つ組に対して加法や減法をどのようにすべきかはずっと前から分かっていたのだが、乗法と除法をどう定めるかという問題については長く行き詰ったままであった。ハミルトンは、空間における二点の座標の商をどのように計算すべきかを形にすることができなかったのである。

四元数についての大きな転換点がついに訪れたのは、1843年10月16日の月曜日、ダブリンにおいてハミルトンが理事会の長を務めることになるアイルランド王立アカデミー英語版への道すがら、妻とともにロイヤル運河英語版の引き船道に沿って歩いているときであった。四元数の背景となる概念が頭の中で形になり、答えが明らかになったとき、ハミルトンは衝動を抑えられずに、四元数の基本公式

四元数群 Q8ケイリーグラフ:赤矢印は i の右からの積を表し、緑矢印は j の右からの積を表す。

四元数全体のなす集合 H実数体上の 4次元ベクトル空間を成す(実数全体は 1次元、複素数全体は 2次元、八元数全体は 8次元である)。四元数は加法と、結合的で分配的な乗法を持つが、その乗法は可換でない。従って四元数の全体 H は実数体上の非可換結合多元環である。H には複素数体 ℂ の複製が含まれるが、HC 上の結合多元環にはならない。

四元数は除法が可能であるから、H多元体(乗法が可換でないことを除けば可換体と同様の構造)である。実数体上の有限次元結合的多元体は非常に少なく、フロベニウスの定理はそれが R, C, H のちょうど3種類であることを述べるものである。また、四元数のノルムにより四元数の全体はノルム多元環となるが、実数体上のノルム多元体もまた非常に限られ、フルヴィッツの定理英語版はそれが R, C, H, O の四種類(O八元数全体)であることを述べる。四元数全体はまた、合成代数や単位的バナッハ環の一例でもある。

Q8 の乗積表
× 1 i j k −1 i j k
1 1 i j k −1 i j k
i i −1 k j i 1 k j
j j k −1 i j k 1 i
k k j i −1 k j i 1
−1 −1 i j k 1 i j k
i i 1 k j i −1 k j
j j k 1 i j k −1 i
k k j i 1 k j i −1

基底元の積は別の基底元に符号を付けたものになるから、集合 {±1, ±i, ±j, ±k} はその乗法に関してを成す。この群は四元数群と呼ばれ、Q8 で表す[19]Q8 の実係数群環 RQ8 は環であり、また R 上の 8次元ベクトル空間でもあり、Q8 の各元を基底ベクトルに持つ。四元数体 HRQ81 + (−1), i + (−i), j + (−j), k + (−k) で生成するイデアルで割った剰余環になっている。ここで、生成元となっている各差の第一項は基底元 1, i, j, k のそれぞれ一つであり、第二項は残りの基底元 −1, −i, −j, −k のそれぞれ一つであって、これらは 1, i, j, k の(群環の加法に関する)加法的逆元でないことに注意(剰余環、つまり H の中では加法逆元になる)。

四元数と R3 の幾何

四元数のベクトル部は R3 のベクトルゆえ、R3 の幾何は四元数の代数構造に反映される。ベクトルに対する多くの演算は四元数を用いて定義することができるし、それによって四元数的な手法を空間ベクトルから生じる様々なものに適用することができる。例えば、電磁気学3DCGなどにこの方法論が使える。

本節では i, j, kH の虚基底ベクトル[20]R3 の基底の両方の意味で用いる。i, j, k を一斉にそれぞれ i, −j, −k に取り替えることはベクトルを加法的逆元(マイナス)へ写すので、ベクトルの加法的逆元をとることと四元数の共軛をとることとは同じ意味になることに注目しよう。これを以って、四元数の共軛を「空間反転」(spatial inverse) と呼ぶことがある。

2つの純虚四元数 p = b1i + c1j + d1k, q = b2i + c2j + d2k に対して、それらのドット積

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