球面
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/10/15 02:26 UTC 版)
初等幾何学やユークリッド幾何学において、球面（きゅうめん、英: sphere[注釈 1]）とは、三次元空間において、与えられた定点からの距離が一定値 r をもつような点全体の成す集合である[1]。このとき、与えられた定点をこの球面の中心といい、距離 r をこの球面の半径という。また、球面の中心を通る直線が、球面から切り取られる線分の長さは常に一定であり、半径の二倍に等しい。これを球面の直径と呼ぶ。
「どの方向から観察しても、半径 r の円に見える立体図形」と定義することもできる。
緩い言い方や数学以外の文脈では、「球」「球面」「球体」の3つが同義語として用いられたり、"sphere" と "ball" の意味が入れ違っていたりすることもあるが、数学的には球面 (sphere) は三次元ユークリッド空間に埋め込まれた二次元閉曲面であり、球体 (ball) は三次元空間内の球面および球面の囲む「内側」である（いまのように球面を含める場合を特に「閉球体」と呼び、囲む領域に球面をまったく含めない場合には「開球体」と呼ぶ。）。
この区別は必ず守られるというようなものではないし、特に古い文献では中身の詰まった図形を「球」(sphere) としている。これは二次元の場合に、「円」が（中身の詰まった）「円板」の意味だったり（境界である）「円周」の意味だったりするのとちょうど同じである。
球面の方程式
解析幾何学において、(x0, y0, z0) を中心とする半径 r の球面（ユークリッド球面）は 
三次元空間において、球面の囲む体積（厳密に言えばこれは「球体」の体積だが、古典的にはこれを「球」の体積と呼ぶ）は、半径を r として 
ユークリッドの平面幾何学の基本要素は点と直線である。球面上でも、点は通常の意味で定義できる。「直線」に相当するものは測地線で、いまの場合具体的には大円である。大円を定義づける特徴は、その上にある点すべてを含む平面が球の中心を通ることである。弧長によって距離を測ることにすれば、球面上の任意の二点を結ぶ最短経路が、それらの点を含む大円がそれら点で切り取られる円弧のうちの短いほうによって与えられることが証明できる。
古典幾何学における多くの定理が球面幾何学においても真となるが、球面上では古典幾何の公準がすべて満足されるわけではない（平行線公準などは成立しない）から、真とはならない定理も存在する。球面三角法において、角は大円の間で定義される。球面三角法は通常の三角法とは様々な点で異なる。例えば、球面三角形の内角の和は常に 180° より大きい。あるいはまた、任意の互いに相似なふたつの球面三角形は合同である。
球面に関する11の性質
ダフィット・ヒルベルトとシュテファン・コーン゠フォッセンの著書 Geometry and the Imagination[13]で彼らは、球面の11の性質を記述し、それらの性質が球面を一意に決定するかどうかについて論じた。それらのうちのいくつかは（半径無限大の球面と看做せる）平面も満足する。それら11性質とは:
- 「球面上のすべての点は一つの定点から同一の距離にある。また、ふたつの定点からそれら点への距離の比は一定である」
- [注釈] 前半は球面の通常の定義で、球面を一意に決定する。後半は容易に導かれ、円周に対するペルガのアポロニウスの結果と同様のことが従う。後半の内容は平面も満たす。
- 「球面の等高線および平面切断はすべて円である」
- [注釈] この性質は球面を一意に定義する。
- 「球面は幅が一定かつ周長が一定である」
- [注釈] 曲面の幅は平行な接平面の対の間の距離として測る。他にもいくつか定幅の凸閉曲面はあり、たとえばマイスナーの立体はそうである。曲面の周長 (girth) は、曲面を平面上に直交射影した像の境界の外周の長さである。これらの性質の各々は他の性質を導く。
- 「球面上のすべてのてんは臍点である」
- [注釈] 球面の法線は球の中心から放射状に延びる直線であるから、曲面上の任意の点において法方向は曲面に直角である。法線を含む平面との交線は「法断面」と呼ばれる曲線をなし、その曲線の曲率を「法曲率」と呼ぶ。多くの曲面に対してその上の点の多くは異なる切断に対して異なる曲率を持つ。それら曲率の中で最大および最小の値を持つものを主曲率と言う。任意の閉曲面は少なくとも四つの「臍点」と呼ばれる点を持つ。臍点にいてすべての断面曲率（特にふたつの主曲率）は等しい。臍点は曲面を球面で極めて近似できる点と見なすことができる。
- 球面に対しては全ての法断面の曲率が等しいから、任意の点が臍点である。この性質を満たす曲面は、球面と平面に限る。
- 「球面は中心曲面を持たない」
- 「球面の任意の測地線は閉曲線である」
- [注釈] 測地線は曲面上の曲線で、二点間の最短距離を与えるものである。これは平面上の直線の概念を一般化するものである。球面上の測地線は大円。この性質を満足する曲面は他にもたくさんある。
- 「与えられた体積を持つすべての立体の中で、球は表面積が最も小さくなるもののひとつである。与えられた表面積を持つすべての立体の中で、球は最も大きい体積を持つものの一つである」
- 「与えられた表面積を持つすべての凸立体のなかで、球面は最も小さい全平均曲率を持つ」
- [注釈] 平均曲率は二つの主曲率の平均で、球面は全ての点で二つの主曲率が一定であるから、平均曲率も一定。
- 「球面は一定の平均曲率を持つ」
- [注釈] 球面は境界も特異点もなく正の一定平均曲率を持つ唯一の埋め込まれた曲面である。他に一定の平均曲率を持つ埋め込まれた曲面に極小曲面がある。
- 「球面は正の一定ガウス曲率を持つ」
- 「剛体運動の三径数族によって球面は球面自身に変形される」
ギャラリー
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An image of one of the most accurate human-made spheres, as it refracts the image of Einstein in the background. This sphere was a fused quartz gyroscope for the Gravity Probe B experiment, and differs in shape from a perfect sphere by no more than 40 atoms (less than 10 nanometers) of thickness. It was announced on 1 July 2008 that Australian scientists had created even more nearly perfect spheres, accurate to 0.3 nanometers, as part of an international hunt to find a new global standard kilogram.[14] -
Deck of playing cards illustrating engineering instruments, England, 1702. King of spades: Spheres
関連項目
注
注釈
出典
- ^ a b Albert 2016, p. 54.
- ^ a b c Woods 1961, p. 266.
- ^ Kreyszig 1972, p. 342.
- ^ Albert 2016, p. 60.
- ^ Steinhaus 1969, p. 223.
- ^ Weisstein, Eric W. "Sphere". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ Steinhaus 1969, p. 221.
- ^ Albert 2016, p. 55.
- ^ Albert 2016, p. 57.
- ^ a b c d Woods 1961, p. 267.
- ^ Albert 2016, p. 58.
- ^ Weisstein, Eric W. "Spheric section". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2nd ed.). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9
- ^ New Scientist | Technology | Roundest objects in the world created
参考文献
- Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
- Dunham, William. The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities. pp. 28, 226. ISBN 0-471-17661-3
- Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
- Steinhaus, H. (1969), Mathematical Snapshots (Third American ed.), Oxford University Press
- Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Sphere". mathworld.wolfram.com (英語).
- Surface area of sphere proof.
- sphere in nLab
- sphere (metric space) - PlanetMath.
- Definition:Sphere at ProofWiki
- Sharadze, I.S. (2001), “Sphere”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
球面
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 21:24 UTC 版)
label=n-次元球面 Sn のオイラー標数は、 χ ( S n ) = 1 + ( − 1 ) n = { 2 n even 0 n odd . {\displaystyle \chi (\mathbf {S} ^{n})=1+(-1)^{n}={\begin{cases}2&n{\text{ even}}\\0&n{\text{ odd}}.\end{cases}}} である。従って、偶数次元の球面の接バンドルには 0 となるような切断は存在しないので、接バンドルは非自明である。つまり、S2n 平行化可能多様体（英語版）(parallelizable manifold)ではなく、特に、リー群の構造を持たない。 奇数次元の球面 S2n−1 ⊂ R2n に対しては、どこでも 0 とならない切断は、 ( x 2 , − x 1 , x 4 , − x 3 , … , x 2 n , − x 2 n − 1 ) {\displaystyle (x_{2},-x_{1},x_{4},-x_{3},\dots ,x_{2n},-x_{2n-1})} で与えられ、オイラー類が消滅することを示している。これはまさに、円の上の普通の切断の n 個のコピーである。 偶数次元の球面のオイラー類が 2[S2n] ∈ H2n(S2n, Z) と対応するように、2つのバンドルのホイットニー和のオイラー類は 2つのバンドルのオイラー類のカップ積であるという事実を使うと、偶数次元の球面の接バンドルには非自明な部分バンドルが存在しないことが分かる。 球面の接バンドルは、安定的自明バンドルであるが自明なバンドルではないので、すべての他の特性類はその上では消滅し、オイラー類は単に、球面の接バンドルの非自明性を検出する通常のコホモロジー類である。さらに深い結果を証明するには、第二コホモロジー作用素（英語版）(secondary cohomology operation)や K-理論を使う必要がある。
※この「球面」の解説は、「オイラー類」の解説の一部です。
「球面」を含む「オイラー類」の記事については、「オイラー類」の概要を参照ください。
「球面」の例文・使い方・用例・文例
- このドームは球面幾何学を応用して建設された。
- 平面[立体, 球面]幾何学.
- 扁球面.
- 球体[球面].
- 球面三角形.
- 球面三角法.
- 平面[球面]三角形.
- 球面鏡
- 球面三角術
- 光線が共通の焦点に集まるのを阻み、ゆがんだ像をもたらす球面曲率からの偏位により引き起こされる目または水晶体の欠陥の、あるいは、光線が共通の焦点に集まるのを阻み、ゆがんだ像をもたらす球面曲率からの偏位により引き起こされる目または水晶体の欠陥に関する
- 球面収差において自由であるか、または修正された
- 色彩および球面収差を修正される
- 球面幾何学
- 骨の頭部の球面が、他の骨の丸い窩洞にぴったりと入り込む可動関節
- 球面上の形状の幾何学
- 球面三角形の三角法
- 数学的に定義された表面上にある2点間の最短線（例えば平面上の直線、または球面上の大円の弧）
- 円の中心から円周まで（または球の中心から球面まで）の直線
- 円の中心と円周上の2点（または球の中心と球面上の2点）を結んでいる直線
- 3つ、あるいはそれ以上の大円の弧に囲まれた球面の図形
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