球面の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/11 13:45 UTC 版)
球面からの投影法は通常は球座標から地図上の座標への写像 m : ( φ , λ ) → ( x , y ) {\displaystyle m:(\varphi ,\lambda )\to (x,y)} として記述される。この場合は関数行列の代わりに ( ∂ x ∂ φ 1 cos φ ∂ x ∂ λ ∂ y ∂ φ 1 cos φ ∂ y ∂ λ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\frac {1}{\cos \varphi }}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}\\{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\frac {1}{\cos \varphi }}{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\\\end{pmatrix}}} が回転行列のスカラー倍となるものが等角写像である。 冒頭の定義との関係では、球面に任意の点で接する接平面に直交座標系 ( ξ , η ) {\displaystyle (\xi ,\eta )\,\!} をとれば、等角性を判断するための写像は f : ( ξ , η ) → ( x , y ) {\displaystyle f:(\xi ,\eta )\to (x,y)} であり、これは g : ( ξ , η ) → ( φ , λ ) {\displaystyle g:(\xi ,\eta )\to (\varphi ,\lambda )} と m {\displaystyle m\,\!} の合成であるから J f = J m J g = ( ∂ x ∂ λ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ λ ∂ y ∂ φ ) ( ∂ λ ∂ ξ ∂ λ ∂ η ∂ φ ∂ ξ ∂ φ ∂ η ) = ( ∂ x ∂ λ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ λ ∂ y ∂ φ ) ( 1 a cos φ 0 0 1 a ) {\displaystyle J_{f}=J_{m}J_{g}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \lambda }{\partial \xi }}&{\frac {\partial \lambda }{\partial \eta }}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial \xi }}&{\frac {\partial \varphi }{\partial \eta }}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{a\cos \varphi }}&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}}} として得られる。
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