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一般向けの説明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/11 04:11 UTC 版)

ポアンカレ予想」の記事における「一般向けの説明」の解説

三次元球面一般に三次元多様体)の「三次元」とは、異な3つの方向左右上下前後(あるいは奥行))に広がりをもつ、点の集まり集合)を意味するまた、球面」とは、「中心」に当たる点との超距離を一定保った点の集まりである。2つ併せると、直観的には、3次元小さなパーツ組み合わせて球面の形(ただしもちろん3次元)にしたものということができる。目に見える範囲実存イメージしすいものとして我々のいる物理宇宙挙げられたとえ話用いられることがしばしばあるが、実際宇宙は何次元なのかははっきりと判ってはいない。 NHKスペシャル100年難問はなぜ解けたのか 〜天才数学者 失踪の謎〜』では、ポエナル博士説明取材し宇宙の中の任意の一点から長いロープ結んだロケット宇宙一周して戻ってたとするロケットがどんな軌道描いた場合でもロープ両端引っ張ってロープ全て回収できるようであれば宇宙の形概ね球体である(ドーナツのような穴のある形、ではない)といえるではないか、というのが(3次元ポアンカレ予想主張である」と説明している。ただしこれは直観的な説明一つではあるが厳密性には欠ける。もし球体形(円板形)であれば閉多様体でない。また3次元空間内の真部分集合3次元多様体閉多様体でない。 3次元球面同相多様体とは、きれいに「丸い」必要はなく、(「3次元」として)ヒョウタン、馬の鞍のように「くびれて」いたりしてもかまわない。(例えば、2次元では「コーヒーカップ」と「ドーナツ」は同相である。)。2次元閉曲面の分類定理から類推されるように、球であるか否か「穴」がないか・あるかにかかっている(「穴」個数種数という)。 「穴」があるかどうかは、例え地球のような2次元球面場合、我々は宇宙から3次元空間通して目視することで確認することができる。しかし3次元球面場合、外から目視して確認したくても、宇宙の外にはたどり着けていないら行うことはできず、「外因的な情報ではなく内在的な情報」のみから「穴」がないかあるかを確認することしかできない。そこで、判断したい場所にロープ3次元球面上の1次元閉曲線)を這わせ、引っかからず引き寄せることができるかどうか「穴」がないかどうか判断するという手法を採る。ポアンカレ予想は、3次元球面任意の場所にロープを這わせても引っかかることが決してないという主張をしているのであるそれ以外のものをさらに区別するには、別な方法用いて、より詳しい情報を得なければいけない)。

※この「一般向けの説明」の解説は、「ポアンカレ予想」の解説の一部です。
「一般向けの説明」を含む「ポアンカレ予想」の記事については、「ポアンカレ予想」の概要を参照ください。

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