球面の回転群の構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/28 23:05 UTC 版)
「ハウスドルフのパラドックス」の記事における「球面の回転群の構成」の解説
φ {\displaystyle \varphi } をある軸の180度の回転、z軸の周りの120度の回転を ψ {\displaystyle \psi } とする。これらによって生成された群をGとする。 回転軸を適当に選べば、 φ , ψ {\displaystyle \varphi ,\psi } は非可換であり、その積は1とならないことを示すことができる。 φ , ψ , ψ 2 {\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}} の2つ以上からなる積は、以下の α , β , γ , δ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta } のタイプに分類される。ただし， m 1 , m 2 , … , m n {\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}} は1または2である． α = ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n φ β = φ ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n γ = φ ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n φ δ = ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n {\displaystyle {\begin{array}{ccc}\alpha &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\beta &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\\\gamma &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\delta &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\end{array}}} α ≠ 1 {\displaystyle \alpha \neq 1} であることが示されれば、 β , γ , δ ≠ 1 {\displaystyle \beta ,\gamma ,\delta \neq 1} であることが分かる。 λ = cos 2 3 π = − 1 2 , μ = sin 2 3 π = 3 2 , {\displaystyle \lambda =\cos {\frac {2}{3}}\pi =-{\frac {1}{2}},\;\;\;\mu =\sin {\frac {2}{3}}\pi ={\frac {\sqrt {3}}{2}},} とすると、 ( ψ ) { x ′ = x λ − y μ y ′ = x μ + y λ z ′ = z . ( φ ) { x ′ = − x cos ϑ + z sin ϑ y ′ = − y z ′ = x sin ϑ + z cos ϑ ( ψ φ ) { x ′ = − x λ cos ϑ + y μ + x λ sin ϑ y ′ = − x μ cos ϑ − y λ + z μ sin ϑ z ′ = x sin ϑ + z cos ϑ {\displaystyle {\begin{array}{lcc}(\psi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=x\lambda -y\mu \\y'=x\mu +y\lambda \\z'=z\end{array}}.\right.\\(\varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\cos \vartheta +z\sin \vartheta \\y'=-y\\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\\(\psi \varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\lambda \cos \vartheta +y\mu +x\lambda \sin \vartheta \\y'=-x\mu \cos \vartheta -y\lambda +z\mu \sin \vartheta \\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\end{array}}} であり、 ( ψ 2 φ ) {\displaystyle (\psi ^{2}\varphi )} は、 ( ψ φ ) {\displaystyle (\psi \varphi )} の式の μ {\displaystyle \mu } を − μ {\displaystyle -\mu } で置き換えたものである。 ( ψ 2 φ ) {\displaystyle (\psi ^{2}\varphi )} または ( ψ φ ) {\displaystyle (\psi \varphi )} のn個の積を t ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle ^{t}(0,0,1)} に作用させると、 x = sin ϑ ( a cos ϑ n − 1 + … ) y = sin ϑ ( b cos ϑ n − 1 + … ) z = c cos ϑ n + … {\displaystyle {\begin{array}{ccc}x&=&\sin \vartheta (a\cos \vartheta ^{n-1}+\ldots )\\y&=&\sin \vartheta (b\cos \vartheta ^{n-1}+\ldots )\\z&=&c\cos \vartheta ^{n}+\ldots \end{array}}} であることが分かる． α {\displaystyle \alpha } による t ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle ^{t}(0,0,1)} の変換結果のz座標は z = ( 3 2 ) n − 1 cos ϑ n + ⋯ {\displaystyle z=\left({\frac {3}{2}}\right)^{n-1}\cos \vartheta ^{n}+\cdots } である。右辺は cos ϑ {\displaystyle \cos \vartheta } の多項式であり、係数は代数的数である。 ϑ {\displaystyle \vartheta } を選んで、 cos ϑ {\displaystyle \cos \vartheta } が超越数なるようにすれば、任意の n > 0 に対して、z ≠ 1 とすることができる。
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