ブラウン運動とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

ブラウン運動

次の性質を満たす実数値連続確率過程 $\{B(t)\}_{t\ge0}$ .
(1) 重ならない区間における $\{B(t)\}_{t\ge 0}$ の増分は互いに独立.
(2) $B(s+t)-B(s)\,$ は平均0, 分散 $\sigma^2 t\,$ の正規分布にしたがう.
(3) $B(0)=0\,$ かつ $B(t)\,$ は $t=0\,$ で連続.
拡散係数 $\sigma^2=1\,$ のときを標準ブラウン運動, $B_d(t) = \mu\,t + B(t)$ をドリフトをもつブラウン運動と呼び, $\mu\,$ をドリフト係数と呼ぶ.

ランダム・ウォーク　 $\{X_n\}_{n=1}^\infty\,$ を互いに独立で同一の分布に従う確率変数の列とするとき,

$S_0=s~$ (定数), $\ \qquad S_n=s + \sum_{i=1}^n X_i$ 　　　　 $(1)\,$

によって定義される確率過程 $\{S_n\}_{n=0}^\infty\,$ をランダム・ウォークと呼ぶ. 特に, ある $d>0\,$ およびすべての $n\,$ に対して, $\mathrm{P}(X_n=d)=p, \mathrm{P}(X_n=-d)=q=1-p\,$ であるとき, $\{S_n\}_{n=0}^\infty\,$ は (1次元の) 単純ランダム・ウォークであるといい, さらに $p=q=1/2\,$ のとき, 単純ランダム・ウォークは対称であるという. また, 「壁」によって動きが止められたり, 動く範囲が制限されるランダム・ウォークを考えることもできる. $X_n\,$ の独立性より, ランダム・ウォークはマルコフ過程となる.

　 $d=1\,$ , $0<p<1\,$ として得られる単純ランダム・ウォーク $\{S_n\}_{n=0}^\infty\,$ は, 整数を状態空間とする周期2の既約なマルコフ連鎖である. このマルコフ連鎖は $p\ne1/2\,$ のとき一時的であり, $p=q=1/2\,$ ならば零再帰的となる. たとえば $p>1/2\,$ ならば $S_n\,$ はだんだん大きくなっていく傾向があり, 正の方へドリフトする. このため出発点に戻ることは保証できなくなり一時的となるのである.

単純ランダム・ウォークからブラウン運動へ　 $\{S_n\}_{n=0}^\infty\,$ を初期値 $s=0\,$ の対称な単純ランダム・ウォークとする. このランダム・ウォークが1ステップ進むのに $T\,$ だけ時間がかかるとして, $T\,$ と $d\,$ を同時に0に近づけることを考える. $t=n\,T\,$ に対して, 時刻 $t\,$ にランダム・ウォークが $x\,$ にいる確率を $v(x,t)\,$ と表すと, $v(x,t)\,$ は差分方程式 $v(x,t+T) = \{ v(x-d,t) + v(x+d,t) \}/2\,$ を満たすので,

$\frac{v(x,t+T) - v(x,t)}{T} = \frac{1}{2}\ \frac{d^2}{T}\ \frac{v(x+d,t) - 2\,v(x,t) + v(x-d,t)}{d^2}$

が得られる. $d^2/T=\sigma^2\,$ (定数) を保ったまま $T\to0 (d\to0)\,$ とすれば

$\frac{\partial v(x,t)}{\partial t} = \frac{\sigma^2}{2}\ \frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x^2}$ 　　　　 $(2)\,$

を得る. 式 (2) は拡散方程式 (diffusion equation) と呼ばれ, その解は初期条件 $v(0,0)=1\,$ , $v(x,0)=0 (x\ne0)\,$ のもとで, 正規分布 $N(0,\sigma^2\,t)\,$ の密度関数となる. より一般的には, 初期値が0の (必ずしも対称でない) 単純ランダム・ウォークにおいて, $d^2/T=\sigma^2\,$ , $(p-q)/d=\mu/\sigma^2\,$ を保ったまま $T\to0\,$ とすると, 時刻 $t\,$ での位置が正規分布 $N(\mu\,t,\sigma^2\,t)\,$ に従う確率過程が得られる [1].

　(1次元の) ブラウン運動 $\{B(t)\}_{t\ge0}\,$ は次の性質を満たす実数値確率過程である:

2. 任意の $s\,$ , $t>0\,$ に対して $B(s+t)-B(s)\,$ は正規分布 $N(0,\sigma^2\,t)\,$ に従う.

3. $B(0)=0\,$ かつ $B(t)\,$ は $t=0\,$ で連続.

1. より, 時刻 $s\,$ 以降の $\{B(t)\}_{t\ge s}\,$ の振る舞いは $s\,$ までの履歴には依存しないため, ブラウン運動はマルコフ過程である. さらに, ブラウン運動が強マルコフ性を持つこと, 標本路が連続となることも知られている [2].

　 $\sigma^2\,$ を拡散係数と呼び, 特に $\sigma^2=1\,$ のブラウン運動を標準ブラウン運動と呼ぶ. また, $B_d(t) = \mu\,t + B(t)\,$ によって定まる $\{B_d(t)\}_{t\ge0}\,$ をドリフトを持つブラウン運動と呼び, $\mu\,$ をドリフト係数と呼ぶ.

鏡像原理 ドリフトのないブラウン運動 $\{B(t)\}_{t\ge0}\,$ に対して $\tau_a\,$ を $\{B(t)\}_{t\ge0}\,$ が初めて $a\,$ を横切る時刻とすると, $\tau_a\,$ は停止時 (stopping time) となる. $t\ge\tau_a\,$ において $\{B(t)\}_{t\ge\tau_a}\,$ と $a\,$ に関して対称な標本路を持つ確率過程 $\{\bar{B}(t)\}_{t\ge0}\,$ を