長期依存
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/05 07:27 UTC 版)
長期依存についてはいくつかの定義があるが、ここでは増分( Xi )間の自己共分散γH(k) を用いて示す。 1/2 < H < 1 のとき、増分間には長期依存(長期記憶)が存在する。 ∑ k = − ∞ ∞ γ H ( k ) → ∞ {\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }\gamma _{H}(k)\to \infty \,} 0 ≦ H < 1/2 のとき、増分間には短期記憶が存在する。 ∑ k = − ∞ ∞ | γ H ( k ) | < ∞ {\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }|\gamma _{H}(k)|<\infty \,} ここで、 X i = B H ( i ) − B H ( i − 1 ) γ H ( k ) = E [ X i X i + k ] = σ 2 2 ( | k + 1 | 2 H + | k | 2 H − | k − 1 | 2 H ) ∼ σ 2 H ( 2 H − 1 ) | k | 2 H − 2 ( k → ∞ , H ≠ 1 / 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}X_{i}&=B_{H}(i)-B_{H}(i-1)\\[0.5em]\gamma _{H}(k)&=E[X_{i}X_{i+k}]\\&={\frac {\sigma ^{2}}{2}}(|k+1|^{2H}+|k|^{2H}-|k-1|^{2H})\\&\sim \sigma ^{2}H(2H-1)|k|^{2H-2}\quad (k\to \infty ,\;H\neq 1/2)\end{aligned}}} また、増分 X i {\displaystyle X_{i}} で構成される離散増分過程を非整数ガウスノイズ（英: fractional Gaussian noise, fGn）という。
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