ブラウン運動への応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/14 05:18 UTC 版)
「ドゥーブのマルチンゲール不等式」の記事における「ブラウン運動への応用」の解説
B を1次元標準ブラウン運動（canonical one-dimensional Brownian motion）とする。このとき任意の定数 C > 0 に対し P [ sup 0 ≤ t ≤ T B t ≥ C ] ≤ exp ( − C 2 2 T ) {\displaystyle \mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]\leq \exp \left(-{\frac {C^{2}}{2T}}\right)} 証明は次の通りである。まず指数関数が単調非減少であることから、任意の非負実数 λ に対し { sup 0 ≤ t ≤ T B t ≥ C } = { sup 0 ≤ t ≤ T exp ( λ B t ) ≥ exp ( λ C ) } {\displaystyle \left\{\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right\}=\left\{\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right\}} ドゥーブのマルチンゲール不等式と、ブラウン運動の指数関数をとって作った確率過程が正値の劣マルチンゲールになることを考えあわせると P [ sup 0 ≤ t ≤ T B t ≥ C ] = P [ sup 0 ≤ t ≤ T exp ( λ B t ) ≥ exp ( λ C ) ] ≤ E [ exp ( λ B T ) ] exp ( λ C ) = exp ( 1 2 λ 2 T − λ C ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]&=\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right]\\&\leq {\frac {\mathbf {E} \left[\exp(\lambda B_{T})\right]}{\exp(\lambda C)}}\\&=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}T-\lambda C\right)\end{aligned}}} ここで対数正規分布の計算から E [ exp ( λ B t ) ] = exp ( 1 2 λ 2 t ) {\displaystyle \mathbf {E} \left[\exp(\lambda B_{t})\right]=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}t\right)} であることを用いた。この最左辺は λ に依らないので、λ を、最右辺が最小になるような λ = C/T と選んでよい。このとき示したかった不等式が得られる。
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