距離 より抽象的な距離の定義

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距離

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/07 07:24 UTC 版)

より抽象的な距離の定義

高等学校までの数学では、特に断りがなければ、距離と言えば前述したユークリッド距離をさした。一方、現代数学ではさらに一般化された距離の定義として、空間上の任意の2点$x,y$に対し、負でない実数を対応させる関数$d(x,y)$を定義したとき、任意の点$x,y,z$について

• $d(x,y)=0$ ⇔ $x=y$
• $d(x,y)=d(y,x)$
• $d(x,y)+d(y,z)$≥$d(x,z)$

という性質が満たされたとき、$d(x,y)$を距離関数といい、この関数の値を$x,y,z$の距離と呼ぶ。

たとえば、平面上の2点$P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})$に対し、

$d(P,Q)=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$と定めると、これはユークリッド距離とは一致しないが、上記の性質を満たしているので距離とみなすことが出来る(マンハッタン距離)。

詳細については距離空間の頁を参照されたい。