絶対値

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/27 02:13 UTC 版)

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この項目では、主に実数の絶対値について説明しています。その他の場合の詳細については「#その他の絶対値の各リンク先」をご覧ください。

数の絶対値は零からの距離と考えられる

実数の絶対値を一般化する概念は、数学において広範で多様な設定のもとで生じてくる。例えば、絶対値は複素数、四元数、順序環、体などに対しても定義することができる。様々な数学的あるいは物理学的な文脈における大きさ（英語版） (magnitude) や距離およびノルムなどの概念は、絶対値と緊密な関係にある。

用語と記法

1806年にジャン゠ロベール・アルガン（英語版）が導入した用語 module は、フランス語で「測る単位」を意味する言葉で、特に複素数の絶対値を表すためのものであった^[1]^[2]。それは対応するラテン語の modulus として1866年に英語にも借用翻訳されている^[1]。absolute value が本項に言う意味で用いられたのは、少なくとも1806年にフランス語で^[3]および1857年に英語で^[4]^{[注釈 1]}見られる。両側を縦棒で括る記法 $| x |$ はカール・ヴァイアシュトラスが1841年に導入した^[5]^:25。絶対値を表すほかの名称には numerical value^[1]（数値）や magnitude^[1]（大きさ）などが挙げられる。プログラム言語や計算機ソフトでは $x$ の絶対値を $abs(x)$ のような函数記法で表すことが一般に行われる。

縦棒で括る記法は他の数学的文脈でもいくつも用いられる（例えば、集合を縦棒で括ればその集合の濃度を表し、行列に用いれば行列式を表す）。したがって、縦棒が絶対値を表すためのものか判断するには、その引数が絶対値の概念が定義される代数的対象（例えば、実数や複素数や四元数などのノルム多元体）かどうかに注意が払われなければならない。絶対値とよく似て非なる概念に縦棒記法が使われる例として、 $R n$ のベクトルに対するユークリッドノルム^[6]^:1および上限ノルム^[7]^:4などが挙げられるが、これらについては二重縦棒と下付き添字を用いた記法（それぞれ $‖ • ‖ 2$ および $‖ • ‖ \infty$ ）を用いるのがより一般的で紛れも少ない。

定義

実数 $x$ の絶対値は「実数から符号を取り除いたもの」:

|x|:=\max\{x,-x\}={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}

として^[8]、あるいは「0 からの距離」^{[注釈 2]}:

|x|:={\sqrt {x^{2}}}

として^[9]^:A5与えられる。実数に対してこれら二つの条件は互いに同値である。

脚注

注釈

^ オックスフォード英語辞典第2版の最も古い引用は1907年から。もちろん relative value（相対値）と対照を成す語としても absolute value（絶対値）は使われる
^ 例えば実数直線を $xy$ -平面の $x$ -軸と看做せば、任意の実数 $x$ は点 $(x, 0)$ で表され、 $0$ は原点 $(0, 0)$ に対応する。平面上の任意の点 $(x, y)$ と原点とのユークリッド距離は $\sqrt (x - 0) 2 + (y - 0) 2 = \sqrt x 2 + y 2$ で与えられるから、 $x$ と $0$ との距離はちょうど $\sqrt x 2 に等しい。$
^ ただし、この微分可能性は複素微分可能を意味しない。つまり、複素変数の絶対値函数はコーシー–リーマンの方程式を満たさない^[10]。
^ この公理系は極小ではない。実際、非負性は他の三つから出る: $0 = d (a, a) \leq d (a, b) + d (b, a) = 2 d (a, b)$ .