絶対値 絶対値の概要

絶対値

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/02/27 02:13 UTC 版)

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数の絶対値は零からの距離と考えられる

実数の絶対値を一般化する概念は、数学において広範で多様な設定のもとで生じてくる。例えば、絶対値は複素数四元数順序環などに対しても定義することができる。様々な数学的あるいは物理学的な文脈における大きさ英語版 (magnitude) や距離およびノルムなどの概念は、絶対値と緊密な関係にある。

用語と記法

1806年にジャン゠ロベール・アルガン英語版が導入した用語 module は、フランス語で「測る単位」を意味する言葉で、特に複素数の絶対値を表すためのものであった[1][2]。それは対応するラテン語の modulus として1866年に英語にも借用翻訳されている[1]absolute value が本項に言う意味で用いられたのは、少なくとも1806年にフランス語で[3]および1857年に英語で[4][注釈 1]見られる。両側を縦棒で括る記法 |x|カール・ヴァイアシュトラスが1841年に導入した[5]:25。絶対値を表すほかの名称には numerical value[1](数値)や magnitude[1](大きさ)などが挙げられる。プログラム言語や計算機ソフトでは x の絶対値を abs(x) のような函数記法で表すことが一般に行われる。

縦棒で括る記法は他の数学的文脈でもいくつも用いられる(例えば、集合を縦棒で括ればその集合の濃度を表し、行列に用いれば行列式を表す)。したがって、縦棒が絶対値を表すためのものか判断するには、その引数が絶対値の概念が定義される代数的対象(例えば、実数や複素数や四元数などのノルム多元体)かどうかに注意が払われなければならない。絶対値とよく似て非なる概念に縦棒記法が使われる例として、Rn のベクトルに対するユークリッドノルム[6]:1および上限ノルム[7]:4などが挙げられるが、これらについては二重縦棒と下付き添字を用いた記法(それぞれ ‖ • ‖2 および ‖ • ‖)を用いるのがより一般的で紛れも少ない。

定義

実数 x絶対値は「実数から符号を取り除いたもの」:

として[8]、あるいは「0 からの距離」[注釈 2]:
として[9]:A5与えられる。実数に対してこれら二つの条件は互いに同値である。


注釈

  1. ^ オックスフォード英語辞典第2版の最も古い引用は1907年から。もちろん relative value(相対値)と対照を成す語としても absolute value(絶対値)は使われる
  2. ^ 例えば実数直線xy-平面x-軸と看做せば、任意の実数 x は点 (x, 0) で表され、0 は原点 (0, 0) に対応する。平面上の任意の点 (x, y) と原点とのユークリッド距離(x − 0)2 + (y − 0)2 = x2 + y2 で与えられるから、x0 との距離はちょうど x2 に等しい。
  3. ^ ただし、この微分可能性は複素微分可能を意味しない。つまり、複素変数の絶対値函数はコーシー–リーマンの方程式を満たさない[10]
  4. ^ この公理系は極小ではない。実際、非負性は他の三つから出る: 0 = d(a, a) ≤ d(a, b) + d(b, a) = 2d(a, b).

出典

  1. ^ a b c d Oxford English Dictionary, Draft Revision, June 2008[要ページ番号]
  2. ^ Nahin, O'Connor and Robertson, and functions.Wolfram.com.; for the French sense, see Littré, 1877
  3. ^ Lazare Nicolas M. Carnot, Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace, p. 105, - Google ブックス
  4. ^ James Mill Peirce, A Text-book of Analytic Geometry, p. 42, - Google ブックス
  5. ^ Higham, Nicholas J., Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM., ISBN 0-89871-420-6 
  6. ^ Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds. Boulder, CO: Westview. ISBN 0805390219 
  7. ^ Munkres, James (1991). Analysis on Manifolds. Boulder, CO: Westview. ISBN 0201510359 
  8. ^ Mendelson 2008, p. 2.
  9. ^ Stewart, James B. (2001). Calculus: concepts and contexts. Australia: Brooks/Cole. ISBN 0-534-37718-1 
  10. ^ a b Weisstein, Eric W. "Absolute Value". MathWorld (英語).
  11. ^ Bartle & Sherbert 2011, p. 163.
  12. ^ Wriggers, Peter (1999), Panatiotopoulos, Panagiotis, ed., New Developments in Contact Problems, ISBN 3-211-83154-1 
  13. ^ Hindry & Silverman 2000, p. 171.
  14. ^ たとえば Yann Bugeaud; Kálmán Győry (1996), “Bounds for the solutions of unit equations”, Acta Arithmetica 74: 67--80, MRMR1367579, http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav74i1p67bwm 





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