絶対値

デジタル大辞泉

ぜったい‐ち【絶対値】

読み方：ぜったいち

ある数aが正または零のときはa自身、負のときは負号を取り去ったもの。｜a｜で表す。

算数用語集・数学用語集

絶対値

数直線上で数を表す点と原点との距離をその数の絶対値という。

人口統計学辞書

絶対値

処理と製表をする前のデータは通常、生データ ¹ないし未加工データ ¹と呼ばれ、処理と製表をした後のデータは基礎データ ¹ないし第一次データ ¹と呼ばれる。基礎データは通常、統計表 ⁴の形でまとめられた絶対値 ³の系列 ²からなる。このような表のデータは通常、年齢や子供数といった特定の変数 ⁵ないし変量 ⁵に関して分類されたり、特定の属性 ⁶ないし特性 ⁶（すなわち性、配偶関係等）に関して分類されたりする。データがいくつかの変数ないし属性に関して同時に分類されるような表は、クロス集計表 ⁷ないし関連表（分割表） ⁷と呼ばれる。要約表 ⁸は個別表 ⁹ほど詳細でない情報をもたらす。

• 1. データが分析単位としての個人（110-2）に関するものである場合、それはミクロ・データmicro-dataと呼ばれる。集計データaggregate dataないしマクロ・データmacro-dataは、たとえば国家や一国内の行政単位といった個人以外の分析単位に関するものである。ミクロ・データは実地調査（203-5）や人口動態登録簿の標本から得られる。ミクロ・データの新たな利用源としてセンサス公共利用標本census public use sampleがあるが、これは関心をもつユーザーの分析目的のために供せられるセンサスの個票から、系統抽出ないし無作為抽出した標本である。
• 7. 母集団内における単一の変数ないし属性の分布を示す表は、一般的に度数表frequency tableと呼ばれる。

短編小説作品名辞典

絶対値

作者日向蓬

収載図書ヘヴンリー
出版社集英社
刊行年月2005.12

ウィキペディア

絶対値

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/21 19:56 UTC 版)

数の絶対値は零からの距離と考えられる

数学における実数 x の絶対値（ぜったいち、英: absolute value）または母数（ぼすう、英: modulus）|x| は、その符号を無視して得られる非負の値を言う。つまり正数 x に対して |x| = x および負数 x に対して |x| = −x（このとき −x は正）であり、また |0| = 0 である。例えば 3 の絶対値は 3 であり −3 の絶対値も 3 である。数の絶対値はその数の零からの距離と見なすことができる。

実数の絶対値を一般化する概念は、数学において広範で多様な設定のもとで生じてくる。例えば、絶対値は複素数、四元数、順序環、体などに対しても定義することができる。様々な数学的あるいは物理学的な文脈における大きさ (magnitude) や距離およびノルムなどの概念は、絶対値と緊密な関係にある。

用語と記法

1806年にジャン゠ロベール・アルガンが導入した用語 module は、フランス語で「測る単位」を意味する言葉で、特に複素数の絶対値を表すためのものであった。それは対応するラテン語の modulus として1866年に英語にも借用翻訳されている。absolute value が本項に言う意味で用いられたのは、少なくとも1806年にフランス語でおよび1857年に英語で見られる。両側を縦棒で括る記法 |x| はカール・ヴァイアシュトラスが1841年に導入した。絶対値を表すほかの名称には numerical value（数値）や magnitude（大きさ）などが挙げられる。プログラム言語や計算機ソフトでは x の絶対値を abs(x) のような函数記法で表すことが一般に行われる。

縦棒で括る記法は他の数学的文脈でもいくつも用いられる（例えば、集合を縦棒で括ればその集合の濃度を表し、行列に用いれば行列式を表す）。したがって、縦棒が絶対値を表すためのものか判断するには、その引数が絶対値の概念が定義される代数的対象（例えば、実数や複素数や四元数などのノルム多元体）かどうかに注意が払われなければならない。絶対値とよく似て非なる概念に縦棒記法が使われる例として、Rⁿ のベクトルに対するユークリッドノルムおよび上限ノルムなどが挙げられるが、これらについては二重縦棒と下付き添字を用いた記法（それぞれ ‖ • ‖₂ および ‖ • ‖_∞）を用いるのがより一般的で紛れも少ない。

定義

実数 x の絶対値は「実数から符号を取り除いたもの」:

$$|x|:=\max\{x,-x\}={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}$$

絶対値函数のグラフ

三次函数と絶対値函数の異なる順番での合成

実数の絶対値が定める非負実数値函数 R ∋ x ↦ |x| ∈ R₊ は至る所連続で、x = 0 を除き至る所微分可能である。また、区間 (−∞,0] 上で単調減少であり、区間 [0,+∞) で単調増加である。各実数とその反数の絶対値は同じ値であるから、絶対値函数は偶函数であり、それゆえ逆函数を持たない。この実絶対値函数は区分線型凸函数である。また、冪等である。

• 符号函数 sign(x) を用いれば、|x| = x sign(x) と書ける。また x = |x| sign(x) であり、x ≠ 0 のとき sign(x) = x/|x| = |x|/x が成り立つ。

x ≠ 0 における導函数

$d|x|/dx={\begin{cases}1&(x>0)\\-1&(x<0)\end{cases}}$

原点からの距離 r が絶対値を表す

複素数 z = a + ib に対して、その絶対値は

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

で与えられる非負実数値である。b = 0 とすることにより、z が実数値を取るときには実数の絶対値に一致することが確かめられる。

z をガウス平面上の点として解釈すれば、|z| とは原点から z までの距離である。複素数を扱う際に、その数を絶対値と偏角とによって表す極形式の考え方は有益である。

複素数 z とその複素共軛 z に対して ${\textstyle |z|=|{\bar {z}}|}$ が成り立つ。また、 ${\textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}}$ は z が引き起こすガウス平面上の一次変換の母数（モジュラス）である。これを ${\textstyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}}$ と書けば、これは実数の絶対値を ${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$ と定める定義の対応版と見ることができる（実際、実数 x を虚部が 0 の複素数 z ≔ x + 0⋅i と見れば、z = x = z したがって zz = xx = x² である）。同様のことはより一般のノルム多元体（あるいはさらに一般の合成代数）において考えることができる。

ベクトルのノルム

絶対値の概念を拡張したものとしてノルムがある。（実または複素数体）K 上のベクトル空間 V に属するベクトル v のノルムあるいは大きさ (magnitude) または長さ (length) ‖ v ‖ は、以下の性質

• 非負性: ‖ v ‖ ≥ 0
• 非退化性: v = 0 ⇔ ‖ v ‖ = 0
• 正斉次性: ‖ av ‖ = |a|⋅‖ v ‖ (a ∈ K)
• 劣加法性: ‖ v + w ‖ ≤ ‖ v ‖ + ‖ w ‖

を満たす。従って、ノルムは距離 d(x, y) = ‖ x − y ‖ を誘導する。上記の実数に対する絶対値、複素数に対する絶対値はどちらもノルムの条件を満たす。絶対値の誘導する距離はノルムの誘導する距離である。

リース空間における絶対値

リース空間と呼ばれる順序線型空間のベクトル v に対しては、|v| = v ∨ (−v) で絶対値が定義される。例えば集合 X 上の実数値（あるいはより一般に全順序群に値をとる）函数全体の成す集合は、f, g に対して (f ∨ g)(x) ≔ max{f(x), g(x)}, (f ∧ g)(x) ≔ min{f(x), g(x)} と置くことによりリース空間となり、各 f に対して

|f|(x) ≔ max{±f(x)}

が f の絶対値を与える。f^± ≔ ±f ∨ 0 と置けば、絶対値は |f| = f⁺ + f⁻ と書ける。

体の賦値

有理数体上の p-進絶対値など、体の賦値も絶対値の一般化である。賦値には加法賦値と乗法賦値があり、乗法賦値（特に指数賦値）のことをしばしば絶対値あるいはモジュラスと呼称する。賦値体はその賦値の定める距離位相に関して位相体を成す。

複素数体 ℂ の部分体がアルキメデス的な乗法賦値を持つならば、それは本項で述べたような通常の絶対値に（同値の差を除いて）一致する。代数体上のアルキメデス的な乗法付値 $|x|_{v}$ は、ℂ への埋め込み σ をうまくとれば、 $|\sigma (x)|$ （ここで $|\cdot |$ は通常の絶対値）と同値となる。一方、代数体上の非アルキメデス的な乗法付値は、有理数体上のp進付値に（同値の差を除いて）一致する。代数体上の乗法付値の同値類のうち、有理数体上で通常の絶対値あるいは正規p進付値と一致するものを標準的な絶対値 (standard absolute value)という。

v が代数体 K 上の標準的な絶対値であるとき、この絶対値による K の完備化を $K_{v}$ とあらわす。また、この絶対値を有理数体上に制限したものによる、有理数体の完備化を $\mathbb {Q} _{v}$ とあらわす。このとき $K_{v}$ は $\mathbb {Q} _{v}$ の拡大体となっており、その拡大次数 $n_{v}=[K_{v}:\mathbb {Q} _{v}]$ を v の局所次数 (local degree) と呼ぶ。このとき、

$\lVert x\rVert _{v}=|x|_{v}^{n_{v}}$

を正規化された絶対値 (normalized absolute value) という。 v がアルキメデス的な絶対値であれば、 K の埋め込み σ をうまくとり、

$\lVert x\rVert _{v}=|\sigma (x)|^{n_{v}}$

とあらわせる。また、このとき σ が実埋め込みならば $n_{v}=1$ で、複素埋め込みならば $n_{v}=2$ が成り立つ。v が非アルキメデス的な絶対値で、 v の有理数体への制限が p-進付値に一致しているとき、 p の上にある K 上の素イデアル π をうまくとれば、 $\lVert \cdot \rVert _{v}$ は正規 π-進付値に一致する。すなわち

$\lVert x\rVert _{v}=|x|_{\pi }$

が成り立つ（この正規化された絶対値 $\lVert \cdot \rVert _{v}$ を $|\cdot |_{v}$ と書いている文献も存在する。）。

v がすべての標準的な絶対値を走るとき、 積公式

$\prod _{v}\lVert x\rVert _{v}=\prod _{v}|x|_{v}^{n_{v}}=1$

が成り立つ。

非アルキメデス的な乗法付値は一階の加法的な賦値と対応がとれ、これらはしばしば同一のものとして扱われる。加法的賦値体あるいは順序体においてその賦値環は、その体における正の数全体の集合を本質的に特徴付けるものである。有限体 F_q (q = p^f) において標準的な賦値（モジュラス）は p-進絶対値の冪

$|x|_{q}:=q^{-v_{p}(x)}=|x|_{p}^{f}$

である。これを適当なハール測度による立方体の体積と理解することもある。

参考文献

• Bartle; Sherbert (2011), Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-43331-6 
• Mendelson, Elliott (2008), Schaum's Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, ISBN 978-0-07-148754-2 
• Hindry, Mark; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry. Graduate Texts in Mathematics. 201. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1210-2. http://www.springer.com/br/book/9780387989754 

関連項目

• 擬絶対値: 乗法性が劣乗法性に緩まる
• 絶対平方 (absolute square) / 自乗ノルム (square norm) / 二次形式（計量二次形式）: スカラーに対する斉次性は落ちる
• 大きさ (数学)
• 合成代数: 乗法的な自乗ノルムを持つ

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Absolute Value". MathWorld (英語).
• absolute value in nLab
• absolute value - PlanetMath.（英語）
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Absolute value", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。

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絶対値

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/21 13:52 UTC 版)

「複素数」の記事における「絶対値」の解説

詳細は「複素数の絶対値」を参照 複素数 z = x + yi（x, y は実数）の絶対値は | z | = x 2 + y 2 で定義される。これは 0 以上の実数である。z が実数（つまり y = 0）のとき |z| は実数の絶対値 |x| = max{x, −x} に一致する。 複素数の絶対値は、ピタゴラスの定理により、複素数平面における原点 O(0) とのユークリッド距離に等しい。そして次が成り立つ。 非退化性：|z| = 0 ⇔ z = 0 三角不等式：|z + w| ≤ |z| + |w|（劣加法性とも） 乗法性：|zw| = |z||w| 逆に、複素数の絶対値は、実数の絶対値を複素数に拡張した乗法的ノルムとして特徴付けられる。 複素数 z の絶対値 |z| は、z を極形式表示： z = r(cos θ + i sin θ) したときの動径 r に等しい。 共役複素数と自身の積は、絶対値の平方に等しい。すなわち複素数 z に対して | z | 2 = z z ¯ = x 2 + y 2 が成り立つ。

Wiktionary日本語版（日本語カテゴリ）

絶対値

出典:『Wiktionary』 (2021/06/26 02:51 UTC 版)

名詞

絶対 値（ぜったいち）

1. ある数やベクトルの原点からの距離。

翻訳

• チェコ語: absolutní hodnota 女性
• 英語: absolute value
• エスペラント:absoluta valoro
• フランス語: valeur absolue
• フィンランド語: itseisarvo
• ハンガリー語: abszolút érték
• 朝鮮語: 절대값
• スウェーデン語: absolutbelopp 中性, belopp 中性
• 中国語: 绝对值

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「絶対値」の例文・使い方・用例・文例

• 配布の中間からの逸脱の絶対値の算術平均
• 複素数の絶対値
• 変数の絶対値が無限大であること
• 一方の得と,他方の損の絶対値が等しくない状態