符号_(数学)

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符号 (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/31 05:56 UTC 版)

記号については「プラス記号とマイナス記号」、「プラスマイナス記号」をご覧ください。

符号理論における符号（コード）」とは異なります。

数の符号を示すにはプラス記号とマイナス記号を用いる

数学における符号（ふごう、英: sign）は、任意の非零実数は正または負であるという性質に始まる。ふつうは0自身は符号を持たないが、ときに符号付き零（英語版）が意味を為す文脈もあり、また「0 の符号は 0 である」とすることが有効な場合もある。実数の符号の場合を敷衍して、数学や物理学などで「符号の変更」("change of sign") あるいは「符号反転」(negation) が、反数を対応付ける、あるいは−1-倍する操作として、実数以外の量に（それが正負零に分かれると限らないものでさえ）も用いられる。また、数学的対象が持つ正負の二項対立とよく似た側面、例えば置換の偶奇性などに対しても「符号」という言葉が用いられる。

数の符号

詳細は「正の数と負の数」を参照

任意の数は複数の属性 (attribute) を持つ（例えば、値、符号、大きさなど）。実数が正であるとは、その値（大きさではない）が零より大きいときに言い、負であるとは零より小さいときに言う。正または負の何れであるかという属性をその数の符号と呼ぶ。この場合、零それ自身は符号を持つとは考えられない。また、複素数に対してその符号を定義することはできないが、偏角はある意味で符号の一般化と考えられる。

算術その他の分野で用いられる一般的な数の記法において、数の符号はその数に + や − を前置することで表される。例えば、+3 は「正の3」であり、−3 は「負の3」である。数値に符号を前置しない場合は、標準的な解釈としてその数は正である。この記法や負の数を減法を通じて定義するという理由から、負号は負符号を持つ負の数と強く結びつけられ、同様に正号は正の数と結び付けられる。

代数学において負号は加法逆元をとる操作（しばしば「符号反転」と呼ぶ）を表すものと見なされる。正の数の加法逆元は負の数であり、負の数の加法逆元は正の数となる。この文脈において −(−3) = +3 と書くことは意味を持つ。

任意の非零実数は絶対値を用いて正にすることができる。例えば −3 の絶対値も 3 の絶対値もともに 3 に等しい。記号で書けば |−3| = 3, |3| = 3 と書ける。

零の符号

数 0 は正でも負でもなく、したがって符号を持たない。算術において +0 および −0 はともに同じ数 0 を表している（零の加法逆元は零自身である）。

このような取り決めは単に慣習的なものにすぎないのであって、文化的に異なる約束が通用する場合もある。例えばフランスやベルギーでは、0 は正でも負でもあるものと定義し、「零でない正の数」および「零でない負の数」はそれぞれ「真に正」（狭義に正）および「真に負」（狭義に負）であるというように区別する。

計算機における符号付数値表現のように、いくつかの文脈では符号付き零が意味を持ち、正の零と負の零が実際に異なる数を表すということもあり得る（符号付き零（英語版））。

また微分積分学および解析学において片側極限の評価に +0 および −0 が現れることもある。この記法は、函数の引数が正および負の値をそれぞれ取りながら 0 へ近づく際の函数の振る舞いを見るものであり、それらの振る舞いはときに一致しない。

用語法

大抵の場合は零は正でも負でもないという規約が採用されるから、その場合未知の数の符号に関して以下のような用語法に従うことになる。

• 数が正とは、それが零より大きいときに言う。
• 数が負とは、それが零より小さいときに言う。
• 数が非負とは、それが零以上であるときに言う。
• 数が非正とは、それが零以下であるときに言う。

したがって、非負の数とは正の数または零のことであり、非正の数とは負の数または零のことを言う。例えば、実数の絶対値は常に非負であって、それは必ずしも正である必要はない。

同様の用語法はしばしば実数値または整数値の函数に対しても用いられる。例えば、函数が正（あるいは正値）とはその取りうる値が全て正であるときに言い、同じく非負（あるいは半正値）とはその取りうる値が全て非負なるときに言う。

符号の規約

詳細は「符号の規約」を参照

多くの文脈では、符号の選択（どちらの範囲を正としどちらの範囲を負とするべきかということ）は自然に決まるが、一貫性のみが問題で任意に符号を決められる場面と言うものも存在する。後者の場合であれば、明示的な符号の規約を設ける必要がある。

符号函数

符号函数 y = sgn(x)

詳細は「符号函数」を参照

数の符号を展開するために符号函数を用いる場合もある。この函数は

$${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$$

x-軸から測った、単位円上の角が正であるのは反時計回りに進む方向、負であるのは時計回り方向を表している。

多くの文脈において、特に向き付けられた角や回転角を考える場面では、角度（つまり角の測度）に符号が対応付けられていることが一般的である。そのような状況において、角度の符号はその角が時計回りまたは反時計回りの何れの方向に開いているかを指し示すものになっている。異なる規約を選ぶことはできるけれども、一般的には反時計回りが正で時計回りが負である。

三次元の回転の角に対しても、その回転の軸（英語版）が向き付けられている前提であれば、符号をつけることができる。具体的には、向き付けられた軸に右手系周りの回転方向を正とし左手系回転を負とするのが典型である。

変化の符号

量 x が時間とともに変化するとき、x の値の変化量（増分あるいは差分）は典型的には、等式

$${\displaystyle \Delta x=x_{\text{final}}-x_{\text{initial}}}$$