楔積

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外積代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 07:18 UTC 版)

外積代数（がいせきだいすう、独: äußere Algebra、英: exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンによって導入された代数。グラスマンに因みグラスマン代数（独: Graßmann-Algebra、英: Grassmann algebra）とも呼ばれる。

以下、特に断らない限り外国語表記はドイツ語、英語の順に記す。

概要

ベクトルの外積（がいせき、äußeres Produkt, exterior product）や楔積（くさびせき、英: wedge product）は、クロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。

クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。

外積代数（グラスマン代数）は、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。

形式的には、外積代数は ⋀(V) あるいは ⋀*(V) で表され、V を線型部分空間として含む、外積あるいは楔積と呼ばれる ∧ で表される乗法を持つ、体 K 上の単位的結合代数である。外積は結合的で双線型な乗法

$\textstyle \wedge \colon \bigwedge (V)\times \bigwedge (V)\to \bigwedge (V);\;(\alpha ,\beta )\mapsto \alpha \wedge \beta$

平行四辺形の面積は2つの頂点の座標を成分とする行列の行列式で表される。

平面 R² はベクトル空間であり、

${\boldsymbol {e}}_{1}=(1,0),\quad {\boldsymbol {e}}_{2}=(0,1)$

外積代数の普遍性

V を含み、V の上で交代的な乗法を持つもっとも一般の多元環を構成するには、V を含む最も一般な多元環であるテンソル代数 T(V) から始めるのが自然であり、テンソル代数の適当な商をとることによって交代性を導入してやればよい。そこで v ⊗ v (v ∈ V) の形の元全体が生成する T(V) の両側イデアル I をとり、⋀(V) を

$\textstyle \bigwedge (V)=T(V)/I$カテゴリ

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楔積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/14 01:58 UTC 版)

「交代多重線型形式」の記事における「楔積」の解説

「交代テンソル#交代テンソル積」および「外積代数#交代テンソル代数」も参照 交代多重線型形式のテンソル積は一般にはもはや交代的とはいえない。しかし、テンソル積に任意の置換を施して、置換の符号を重みとして足し合わせることにより、多重余ベクトルの楔積（ウェッジ積）または外積（交代積）∧ が定義できる。すなわち f ∈ A k ( V ) , g ∈ A ℓ ( V ) {\textstyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V),g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)} に対して f ∧ g ∈ A k + ℓ ( V ) {\textstyle f\wedge g\in {\mathcal {A}}^{k+\ell }(V)} が ( f ∧ g ) ( v 1 , … , v k + ℓ ) := 1 k ! ℓ ! ∑ σ ∈ S k + ℓ ( sgn ⁡ ( σ ) ) f ( v σ ( 1 ) , … , v σ ( k ) ) g ( v σ ( k + 1 ) , … , v σ ( k + ℓ ) ) で与えられる。ここで右辺の和は k + l 元集合上の置換すべてに亙ってとる。この楔積は双線型、結合的で、さらに反交換的（ f ∈ A k ( V ) , g ∈ A ℓ ( V ) {\textstyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V),g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)} ならば f ∧ g = ( − 1 ) k ℓ g ∧ f {\textstyle f\wedge g=(-1)^{k\ell }g\wedge f} ）である。 V の基底を ( v 1 , … , v n ) {\textstyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} とし、その双対基底を ( ϕ 1 , … , ϕ n ) {\textstyle (\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})} とすれば、楔積の集合 ϕ i 1 ∧ ⋯ ∧ ϕ i k ( 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n ) は A k ( V ) の基底を成す。したがって、V が n-次元のとき、 A k ( V ) の次元は ( n k ) = n ! ( n − k ) ! k ! {\textstyle {\tbinom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}} に等しい。