双代数構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:56 UTC 版)
正確に言えば、次数付き代数 ⋀(V) の次数付き双対と V 上の重線型交代形式全体の空間の間に対応が存在する。上で定義した重線型代数の楔積は ⋀(V) 上に定義され、余代数の構造を定める余積の双対である。 この余積 (coproduct) は線型写像 Δ: ⋀(V) → ⋀(V) ⊗ ⋀(V) であって、分解可能な元の上では Δ ( x 1 ∧ ⋯ ∧ x k ) = ∑ p = 0 k ∑ σ ∈ Sh p , k − p sgn ( σ ) ( x σ ( 1 ) ∧ ⋯ ∧ x σ ( p ) ) ⊗ ( x σ ( p + 1 ) ∧ ⋯ ∧ x σ ( k ) ) {\displaystyle \Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=\sum _{p=0}^{k}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} _{p,k-p}}\operatorname {sgn}(\sigma )(x_{\sigma (1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (p)})\otimes (x_{\sigma (p+1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)})} によって与えられる。例えば Δ ( x 1 ) = 1 ⊗ x 1 + x 1 ⊗ 1 , {\displaystyle \Delta (x_{1})=1\otimes x_{1}+x_{1}\otimes 1,} Δ ( x 1 ∧ x 2 ) = 1 ⊗ ( x 1 ∧ x 2 ) + x 1 ⊗ x 2 − x 2 ⊗ x 1 + ( x 1 ∧ x 2 ) ⊗ 1 {\displaystyle \Delta (x_{1}\wedge x_{2})=1\otimes (x_{1}\wedge x_{2})+x_{1}\otimes x_{2}-x_{2}\otimes x_{1}+(x_{1}\wedge x_{2})\otimes 1} のようである。これを線型に拡張して外積代数全体で定義される演算を得る。余積の言葉で言えば、双対空間上の楔積はちょうど余積の次数つき双対 ( α ∧ β ) ( x 1 ∧ ⋯ ∧ x k ) = ( α ⊗ β ) ( Δ ( x 1 ∧ ⋯ ∧ x k ) ) {\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=(\alpha \otimes \beta )(\Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k}))} である。ここで右辺におけるテンソル積は線型写像としてのそれである（両立しない斉次次数の元については 0 で拡張する。もっとはっきり言えば α ∧ β = ε ∘ (α ⊗ β) ∘ Δ と定める。ここで ε は以下で定義する余単位射である）。 余単位射 (counit) は準同型 ε: ⋀(V ) → K で引数の 0-次成分を返すものである。余積および余単位射は楔積とともに外積代数に双代数の構造を定める。
※この「双代数構造」の解説は、「外積代数」の解説の一部です。
「双代数構造」を含む「外積代数」の記事については、「外積代数」の概要を参照ください。
- 双代数構造のページへのリンク
