双代数およびホップ代数の構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/02 05:09 UTC 版)
「テンソル代数」の記事における「双代数およびホップ代数の構造」の解説
しかし以下のような複雑な形の余乗法 Δ ( x 1 ⊗ ⋯ ⊗ x m ) = ∑ p = 0 m ∑ σ ∈ S h p , m − p ( x σ ( 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ x σ ( p ) ) ⊗ ( x σ ( p + 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ x σ ( m ) ) {\displaystyle \Delta (x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=\sum _{p=0}^{m}\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{p,m-p}}\left(x_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes x_{\sigma (p)}\right)\otimes \left(x_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes x_{\sigma (m)}\right)} を入れれば双代数になる。ただし後ろの和は(p, m − p)-シャッフル（英語版）すべてに亙ってとる。 さらに、対蹠射 S を S ( x 1 ⊗ ⋯ ⊗ x m ) = ( − 1 ) m x m ⊗ ⋯ ⊗ x 1 {\displaystyle S(x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=(-1)^{m}x_{m}\otimes \dots \otimes x_{1}} を T(V) 全体まで線型に延長することによって与えれば、テンソル代数はホップ代数を成す。 これはちょうど自由多元環上の標準ホップ代数構造に一致する。ただし、T1(V) = V 上の余乗法を Δ ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x {\displaystyle \Delta (x)=x\otimes 1+1\otimes x} Δ ( x 1 ⊗ ⋯ ⊗ x m ) = Δ ( x 1 ) Δ ( x 2 ) ⋯ Δ ( x m ) . {\displaystyle \Delta (x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=\Delta (x_{1})\Delta (x_{2})\cdots \Delta (x_{m}).} S ( x ) = − x {\displaystyle S(x)=-x} S ( x 1 ⊗ ⋯ ⊗ x m ) = S ( x m ) S ( x m − 1 ) ⋯ S ( x 2 ) S ( x 1 ) {\displaystyle S(x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=S(x_{m})S(x_{m-1})\cdots S(x_{2})S(x_{1})} により Tm(V) 上の対蹠射を定義する。
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