この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方 ） 出典検索? "コーシー＝シュワルツの不等式" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL （2015年12月
数学 におけるコーシー＝シュワルツの不等式 （コーシーシュワルツのふとうしき、英 : Cauchy–Schwarz inequality ）、シュワルツの不等式 、シュヴァルツの不等式 あるいはコーシー＝ブニャコフスキー＝シュワルツの不等式 (Cauchy–Bunyakovski–Schwarz inequality) とは、内積空間 において、2つのベクトルの内積 の絶対値はその2つのノルム の積以下であることを主張する不等式 である。
線型代数学 や関数解析学 における有限次元および無限次元のベクトルの内積や、確率論 における分散 や共分散 に適用されるなど、様々な状況で現れる有用な不等式である。
数列に対する不等式はオーギュスタン＝ルイ・コーシー によって1821年に、積分系での不等式はまずヴィクトール・ブニャコフスキー によって1859年に発見された後ヘルマン・アマンドゥス・シュヴァルツ によって1888年に再発見された。
定理の内容と意義 x , y 実 または複素 内積空間
(
X
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
⟨
x
,
y
⟩
2
≤
⟨
x
,
x
⟩
⋅
⟨
y
,
y
⟩
.
{\displaystyle \langle x,y\rangle ^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .}
これの等号成立は、x , y 線型従属 であるとき、つまり x , y ノルム
‖
x
‖
2
:=
⟨
x
,
x
⟩
{\displaystyle \|x\|^{2}:=\langle x,x\rangle }
|
⟨
x
,
y
⟩
|
≤
‖
x
‖
⋅
‖
y
‖
{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert }
とも表せる。
コーシー＝シュワルツの不等式の重要な帰結として、内積が2つのベクトルについて連続 であるということが挙げられる。従って特に、ベクトル x に対する連続汎函数
⟨
x
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle x,\cdot \rangle }
⟨
⋅
,
x
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,x\rangle }
x に汎函数
x
∗
:
y
↦
⟨
y
,
x
⟩
{\displaystyle x^{*}\colon y\mapsto \langle y,x\rangle }
作用 させると等長作用素になっていることも従う。
また、この定理の系として内積ノルム に関する三角不等式
‖
x
+
y
‖
≤
‖
x
‖
+
‖
y
‖
{\displaystyle \Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert +\Vert y\Vert }
が導かれる。これの等号成立は、x と y の一方が他方の非負実数倍であるときである。
証明 定理には数多くの証明が知られている。
判別式による証明 実内積空間におけるシュワルツの不等式の特徴的な証明の一つに、二次式とその判別式 を用いるものがある。実際、t を実変数（あるいは任意の実定数）として
0
≤
⟨
x
+
t
y
,
x
+
t
y
⟩
=
⟨
x
,
x
⟩
+
2
⟨
x
,
y
⟩
t
+
⟨
y
,
y
⟩
t
2
{\displaystyle 0\leq \langle {\boldsymbol {x}}+t{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {x}}+t{\boldsymbol {y}}\rangle =\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle +2\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle t+\langle {\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {y}}\rangle t^{2}}
が（内積の加法性 により）t に依らず成立し、t の絶対二次不等式 となる。ゆえに、二次不等式についてよく知られた事実により、この t の二次式の判別式 Δ は半負定値（非正 ）でなければならない：
Δ
/
4
=
⟨
x
,
y
⟩
2
−
⟨
x
,
x
⟩
⟨
y
,
y
⟩
≤
0.
{\displaystyle \Delta /4=\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle ^{2}-\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle \langle {\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {y}}\rangle \leq 0.}
ここからコーシー＝シュワルツの不等式を得る。
複素内積空間においても同様の証明がある。この場合は、⟨ x y ⟩ 内積 を考えるとき、実数 t と絶対値 1 の複素数 λ について
⟨
x
+
λ
t
y
|
x
+
λ
t
y
⟩
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}}+\lambda t{\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {x}}+\lambda t{\boldsymbol {y}}\rangle }
に対して同様の議論を行い、
(
Re
⟨
x
|
λ
y
⟩
)
2
−
⟨
x
|
x
⟩
⟨
y
|
y
⟩
≤
0
{\displaystyle \left(\operatorname {Re} \langle {\boldsymbol {x}}|\lambda {\boldsymbol {y}}\rangle \right)^{2}-\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {x}}\rangle \langle {\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {y}}\rangle \leq 0}
が導かれる。特に
λ
=
⟨
x
|
y
⟩
|
⟨
x
|
y
⟩
|
{\displaystyle \lambda ={\frac {\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle }{|\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle |}}}
Re
⟨
x
|
λ
y
⟩
=
Re
λ
¯
⟨
x
|
y
⟩
=
Re
⟨
x
|
y
⟩
¯
⟨
x
|
y
⟩
|
⟨
x
|
y
⟩
|
=
|
⟨
x
|
y
⟩
|
{\displaystyle \operatorname {Re} \langle {\boldsymbol {x}}|\lambda {\boldsymbol {y}}\rangle =\operatorname {Re} {\bar {\lambda }}\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle =\operatorname {Re} {\frac {{\overline {\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle }}\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle }{|\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle |}}=|\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle |}
であるから、定理の主張が得られる。
直交射影による証明 別の観点の証明として、直交射影を考える以下のものがある：‖ y ‖ = 0 x と y の内積が 0 になり、問題の不等式は自明である。‖ y ‖ > 0
t
=
⟨
x
,
y
⟩
‖
y
‖
2
{\displaystyle t={\frac {\langle x,y\rangle }{\|y\|^{2}}}}
とすると、t y は x の y 方向への直交射影である。実際、この t について z := x − t y y に直交している。
0
≤
‖
z
‖
2
=
‖
x
‖
2
−
‖
t
y
‖
2
=
‖
x
‖
2
‖
y
‖
2
−
⟨
x
,
y
⟩
2
‖
y
‖
2
{\displaystyle 0\leq \|z\|^{2}=\|x\|^{2}-\|ty\|^{2}={\frac {\|x\|^{2}\|y\|^{2}-\langle x,y\rangle ^{2}}{\|y\|^{2}}}}
よりコーシー＝シュワルツの不等式が従う。不等式の等号成立は z = 0x , y
数学的帰納法による証明 標準内積を入れた数ベクトル空間 で考えている場合は、成分表示すると
(
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
)
2
≤
(
∑
i
=
1
n
x
i
2
)
(
∑
i
=
1
n
y
i
2
)
{\displaystyle \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}^{2}\right)}
となるが、特にユークリッド空間 （実数空間 ）R n xi , yi n に関する数学的帰納法 で証明することができる。各 xi , yi n = 1n = 2
(
x
1
2
+
x
2
2
)
(
y
1
2
+
y
2
2
)
−
(
x
1
y
1
+
x
2
y
2
)
2
=
(
x
1
y
2
−
x
2
y
1
)
2
≥
0
{\displaystyle ({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2})({y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2})-(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}=(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq 0}
より成り立つ。n = k (≥ 2)n = k + 1
(
∑
i
=
1
k
+
1
x
i
y
i
)
2
=
(
∑
i
=
1
k
x
i
y
i
+
x
k
+
1
y
k
+
1
)
2
{\displaystyle \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k+1}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}x_{i}y_{i}+x_{k+1}y_{k+1}\right)^{2}}
≤
(
(
∑
i
=
1
k
x
i
2
)
1
2
(
∑
i
=
1
k
y
i
2
)
1
2
+
x
k
+
1
y
k
+
1
)
2
{\displaystyle \leq \left(\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{y_{i}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}+x_{k+1}y_{k+1}\right)^{2}}
≤
(
∑
i
=
1
k
x
i
2
+
x
k
+
1
2
)
(
∑
i
=
1
k
y
i
2
+
y
k
+
1
2
)
{\displaystyle \leq \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}^{2}+{x_{k+1}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{y_{i}}^{2}+{y_{k+1}}^{2}\right)}
n = 2
=
(
∑
i
=
1
k
+
1
x
i
2
)
(
∑
i
=
1
k
+
1
y
i
2
)
{\displaystyle =\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k+1}{x_{i}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k+1}{y_{i}}^{2}\right)}
となって成立する。
具体例 標準内積を入れた数ベクトル空間 で考えている場合は、成分表示すると
(
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
)
2
≤
(
∑
i
=
1
n
x
i
2
)
(
∑
i
=
1
n
y
i
2
)
{\displaystyle \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}^{2}\right)}
となる。特に n = 2, 3
(
x
1
y
1
+
x
2
y
2
)
2
≤
(
x
1
2
+
x
2
2
)
(
y
1
2
+
y
2
2
)
{\displaystyle (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}\leq ({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2})({y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2})}
(
x
1
y
1
+
x
2
y
2
+
x
3
y
3
)
2
≤
(
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
)
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
{\displaystyle (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3})^{2}\leq ({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2})({y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2}+{y_{3}}^{2})}
となる。これらは有限次元の内積空間における例であるが、無限次元の内積空間でも成り立つ。自乗可積分函数 空間では内積として積分の形があり、2つの自乗可積分函数 f , g
(
∫
f
(
x
)
g
(
x
)
∗
d
x
)
2
≤
∫
|
f
(
x
)
|
2
d
x
⋅
∫
|
g
(
x
)
|
2
d
x
{\displaystyle \left(\int f(x)g(x)^{*}\,dx\right)^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx}
がシュワルツの不等式に当たる不等式である。これはヘルダーの不等式 に一般化される。
関連項目 参考文献 外部リンク 
