自乗可積分函数
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自乗可積分函数
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以下の表におけるフーリエ変換は (Campbell & Foster 1948), (Erdélyi 1954) あるいは (Kammler 2000) の付録に見つけることができる。 もとの函数ユニタリ・周波に関するフーリエ変換ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換備考 f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ^ ( ξ ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx} f ^ ( ω ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=} 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ω x d x {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx} f ^ ( ν ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ν x d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx} 201 rect ( a x ) {\displaystyle \operatorname {rect} (ax)\,} 1 | a | ⋅ sinc ( ξ a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)} 1 2 π a 2 ⋅ sinc ( ω 2 π a ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)} 1 | a | ⋅ sinc ( ν 2 π a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)} 矩形波と標準化されたsinc関数でsinc関数はsinc(x) = sin(πx)/(πx)で表される 202 sinc ( a x ) {\displaystyle \operatorname {sinc} (ax)\,} 1 | a | ⋅ rect ( ξ a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\xi }{a}}\right)\,} 1 2 π a 2 ⋅ rect ( ω 2 π a ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)} 1 | a | ⋅ rect ( ν 2 π a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)} 201の双対で矩形波は理想的なローパスフィルターである。sinc関数はそのようなフィルターの非因果波応答である。 203 sinc 2 ( a x ) {\displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}(ax)} 1 | a | ⋅ tri ( ξ a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\xi }{a}}\right)} 1 2 π a 2 ⋅ tri ( ω 2 π a ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)} 1 | a | ⋅ tri ( ν 2 π a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)} tri(x)は三角形関数である。 204 tri ( a x ) {\displaystyle \operatorname {tri} (ax)} 1 | a | ⋅ sinc 2 ( ξ a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,} 1 2 π a 2 ⋅ sinc 2 ( ω 2 π a ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)} 1 | a | ⋅ sinc 2 ( ν 2 π a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)} 203の双対 205 e − a x u ( x ) {\displaystyle e^{-ax}u(x)\,} 1 a + 2 π i ξ {\displaystyle {\frac {1}{a+2\pi i\xi }}} 1 2 π ( a + i ω ) {\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}} 1 a + i ν {\displaystyle {\frac {1}{a+i\nu }}} u(x)はヘビサイドの単位ステップ関数であり、a>0 206 e − α x 2 {\displaystyle e^{-\alpha x^{2}}\,} π α ⋅ e − ( π ξ ) 2 α {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}}} 1 2 α ⋅ e − ω 2 4 α {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}} π α ⋅ e − ν 2 4 α {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\nu ^{2}}{4\alpha }}}} これが示すものは、ガウス関数exp(−αx2)でαを選んだ場合はユニタリフーリエ変換である。. Re(α)>0で積分可能である 207 e − a | x | {\displaystyle \operatorname {e} ^{-a|x|}\,} 2 a a 2 + 4 π 2 ξ 2 {\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}\xi ^{2}}}} 2 π ⋅ a a 2 + ω 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}}} 2 a a 2 + ν 2 {\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+\nu ^{2}}}} a>0である 208 J n ( x ) x {\displaystyle {\frac {J_{n}(x)}{x}}\,} 2 i n ( − i ) n ⋅ U n − 1 ( 2 π ξ ) {\displaystyle {\frac {2i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(2\pi \xi )\,} ⋅ 1 − 4 π 2 ξ 2 rect ( π ξ ) {\displaystyle \cdot \ {\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}\operatorname {rect} (\pi \xi )} 2 π i n ( − i ) n ⋅ U n − 1 ( ω ) {\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(\omega )\,} ⋅ 1 − ω 2 rect ( ω 2 ) {\displaystyle \cdot \ {\sqrt {1-\omega ^{2}}}\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)} 2 i n ( − i ) n ⋅ U n − 1 ( ν ) {\displaystyle {\frac {2i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(\nu )\,} ⋅ 1 − ν 2 rect ( ν 2 ) {\displaystyle \cdot \ {\sqrt {1-\nu ^{2}}}\operatorname {rect} \left({\frac {\nu }{2}}\right)} 関数Jn (x)は、n次の第1種ベッセル関数である。関数Un (x)は第2種チェビシェフ多項式である。下記315と316を参照 209 sech ( a x ) {\displaystyle \operatorname {sech} (ax)\,} π a sech ( π 2 a ξ ) {\displaystyle {\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi ^{2}}{a}}\xi \right)} 1 a π 2 sech ( π 2 a ω ) {\displaystyle {\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)} π a sech ( π 2 a ν ) {\displaystyle {\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\nu \right)} 双曲線正割は自分自身をフーリエ変換したものである
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