完全直交性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/07 03:05 UTC 版)
Hk が更に強い性質を満たすことも証明可能である。Sn − 1 上の自乗可積分函数全体の空間 L2(Sn − 1) = { f: Sn − 1 → C | f は可測かつ ⟨ f | f ⟩Sn − 1 が有限値 } は Hk を使って直交分解可能である： 定理 ― L 2 ( S n − 1 ) = ⨁ k = 0 ∞ H k {\displaystyle L^{2}(S^{n-1})=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathcal {H}}_{k}} （ヒルベルト直和）。 これを言い換えると、以下の系が従う： 系 ― 任意の f ∈ L2(Sn−1) に対し、可積分な関数の族 {Yk}∞k=0 で Yk が k 次球面調和関数となるものが存在し、以下が成立する： f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ Y k ( x ) . {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{k=0}^{\infty }Y_{k}(\mathbf {x} ).} しかもこのような族は一意である。 特に 3 次元の場合は、上述の事実と定理1から以下が成立する： 定理 ― 任意の f ∈ L2(Sn − 1) に対し、f を極座標で表したとき、 f ( θ , ϕ ) = ∑ k = 0 ∞ ∑ m = − k k A k m Y k m ( θ , ϕ ) {\displaystyle f(\theta ,\phi )=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{m=-k}^{k}A_{km}Y_{k}^{m}(\theta ,\phi )} を満たす複素数の族 {Ak, m}k = 0, 1, …; m = −k, …, k で ∑ k = 0 ∞ ∑ m = − k k A k m 2 < ∞ {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\sum _{m=-k}^{k}A_{km}{}^{2}<\infty } となるものが一意に存在する。
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