3次元空間における完全直交性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/07 03:05 UTC 版)
「球面調和関数」の記事における「3次元空間における完全直交性」の解説
3 次元空間 R3 の球面座標 (r, θ, φ) に対し、 d x d y d z = r 2 sin θ d r d θ d φ {\displaystyle \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi } が成立する。そこで、R 上の関数 χ, ξ に対し、χ, ξ の内積を ⟨ χ ∣ ξ ⟩ R := ∫ − ∞ ∞ χ ( r ) ξ ( r ) r 2 d r {\displaystyle \langle \chi \mid \xi \rangle _{R}:=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (r)\xi (r)r^{2}\mathrm {d} r} (D1) により定義し、さらに R3 の関数 f1, f2 の内積を ⟨ f 1 ∣ f 2 ⟩ := ∫ R 3 f 1 ( x ) f 2 ( x ) d x d y d z {\displaystyle \langle f_{1}\mid f_{2}\rangle :=\int _{\mathbf {R} ^{3}}f_{1}(\mathbf {x} )f_{2}(\mathbf {x} )\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z} (D2) とする。f1, f2 が f1(x) = χ1(r) Y1(θ, φ), f2(x) = χ2(r) Y2(θ, φ) と変数分離形で書けていた場合には、(C1), (D1), (D2) で定義した内積は以下の性質を満たす。 ⟨ f 1 | f 2 ⟩ = ⟨ χ 1 | χ 2 ⟩ R ⟨ Y 1 | Y 2 ⟩ S {\displaystyle \langle f_{1}|f_{2}\rangle =\langle \chi _{1}|\chi _{2}\rangle _{R}\langle Y_{1}|Y_{2}\rangle _{S}} (C1), (D1), (D2) の内積を用いて自乗可積分な関数全体の集合をそれぞれ L2(S2, sin θ dθ dφ), L2(R, r2 dr), L2(R3, dx dy dz) と書くと、ヒルベルト空間の一般論から、次が成立する。 定理 ― 次が成立する： L 2 ( R 3 , d x d y d z ) = L 2 ( S 2 , sin θ d θ d φ ) ⊗ L 2 ( R , r 2 d r ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3},\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z)=L^{2}(S^{2},\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi )\otimes L^{2}(\mathbf {R} ,r^{2}\,\mathrm {d} r)} （ヒルベルトテンソル積）。 上述した定理と定理1から、以下の結論が従う。 系 ― R3 上の任意の自乗可積分関数 f(x, y, z) に対し、⟨χk, m|χk, m⟩R < ∞ を満たす R 上の可積分関数の族 {χk, m(r)} で f ( r , θ , φ ) = ∑ m = 0 ∞ ∑ k = − m m χ k , m ( r ) Y k , m ( θ , ϕ ) {\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{k=-m}^{m}\chi _{k,m}(r)Y_{k,m}(\theta ,\phi )} となるものが一意に存在する。
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