3次元格子のフーリエ変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/19 00:21 UTC 版)
「逆格子ベクトル」の記事における「3次元格子のフーリエ変換」の解説
3次元の実空間中の格子点は、次のように表される。 r = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 ( n 1 , n 2 , n 3 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle \mathbf {r} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}\quad (n_{1},n_{2},n_{3}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )} これをフーリエ変換すると、波数空間では次の式で表される3次元格子点になる。 k ⋅ a 1 = 2 π m 1 {\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}=2\pi m_{1}} k ⋅ a 2 = 2 π m 2 ( m 1 , m 2 , m 3 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{2}=2\pi m_{2}\quad (m_{1},m_{2},m_{3}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )} k ⋅ a 3 = 2 π m 3 {\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{3}=2\pi m_{3}} これを逆格子点と呼ぶ。 証明3次元格子を、くし型関数を用いて次のように表す。 ∑ n 1 = − ∞ ∞ ∑ n 2 = − ∞ ∞ ∑ n 3 = − ∞ ∞ δ 3 ( r − n 1 a 1 − n 2 a 2 − n 3 a 3 ) ( n 1 , n 2 , n 3 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle \sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{3}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1}-n_{2}\mathbf {a} _{2}-n_{3}\mathbf {a} _{3})\quad (n_{1},n_{2},n_{3}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )} 2次元格子の場合と同様に、これも上述の点列の畳み込みで表せる。 ∑ n 1 = − ∞ ∞ ∑ n 2 = − ∞ ∞ ∑ n 3 = − ∞ ∞ δ 3 ( r − n 1 a 1 − n 2 a 2 − n 3 a 3 ) {\displaystyle \sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{3}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1}-n_{2}\mathbf {a} _{2}-n_{3}\mathbf {a} _{3})} = [ ∑ n 1 = − ∞ ∞ δ 3 ( r − n 1 a 1 ) ] ∗ [ ∑ n 2 = − ∞ ∞ δ 3 ( r − n 2 a 2 ) ] ∗ [ ∑ n 3 = − ∞ ∞ δ 3 ( r − n 3 a 3 ) ] ( n 1 , n 2 , n 3 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle =\left[\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1})\right]*\left[\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{2}\mathbf {a} _{2})\right]*\left[\sum _{n_{3}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{3}\mathbf {a} _{3})\right]\quad (n_{1},n_{2},n_{3}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )} よって上述の点列のフーリエ変換の結果と畳み込みの性質より、3次元格子のフーリエ変換は3つの平面列の積であることがわかる。 ∫ − ∞ ∞ ( ∑ n 1 = − ∞ ∞ ∑ n 2 = − ∞ ∞ ∑ n 3 = − ∞ ∞ δ 3 ( r − n 1 a 1 − n 2 a 2 − n 3 a 3 ) ) e − i k ⋅ r d r {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{3}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1}-n_{2}\mathbf {a} _{2}-n_{3}\mathbf {a} _{3})\right)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\mathbf {r} } = ( 2 π ) 3 ∑ m 1 = − ∞ ∞ ∑ m 2 = − ∞ ∞ ∑ m 3 = − ∞ ∞ δ 3 ( k ⋅ a 1 − 2 π m 1 ) δ 3 ( k ⋅ a 2 − 2 π m 2 ) δ 3 ( k ⋅ a 3 − 2 π m 3 ) ( m 1 , m 2 , m 3 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle =(2\pi )^{3}\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}-2\pi m_{1})\delta ^{3}(\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{2}-2\pi m_{2})\delta ^{3}(\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{3}-2\pi m_{3})\quad (m_{1},m_{2},m_{3}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )} 3つの平面が重なる部分は点になる。よってこれは点が3次元的に無限に並んだものである。
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