近年の定理の形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/01 01:29 UTC 版)
「リース＝フィッシャーの定理」の記事における「近年の定理の形式」の解説
この定理の最もよくある形式のものは、[–π, π] 上の可測函数が自乗可積分であるための必要十分条件は、対応するフーリエ級数が L2 の意味で収束することである。すなわち、自乗可積分函数 f に対応するフーリエ級数の第 N 部分和が S N f ( x ) = ∑ n = − N N F n e i n x , {\displaystyle S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,\mathrm {e} ^{inx},} で与えられるなら lim N → ∞ ‖ S N f − f ‖ 2 = 0 , {\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left\Vert S_{N}f-f\right\|_{2}=0,} が成立することをいう。ここで Fn は第 n 番目のフーリエ係数 F n = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i n x d x , {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,\mathrm {e} ^{-inx}\,\mathrm {d} x,} であり、 ‖ ⋅ ‖ 2 {\displaystyle \left\Vert \cdot \right\|_{2}} は L2-ノルムである。 逆に、 { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}\,} が複素数の両側列（すなわち、添え字が負の無限大から正の無限大までとなっている列）で ∑ n = − ∞ ∞ | a n | 2 < ∞ , {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|a_{n}\right\vert ^{2}<\infty ,} を満たすなら、フーリエ係数が a n {\displaystyle a_{n}} であるようなある自乗可積分函数 f が存在する。 リース＝フィッシャーの定理はベッセルの不等式のより強い形で、フーリエ級数に関するパーセヴァルの等式を証明するために用いられる。 その他にもしばしばリース＝フィッシャーの定理と呼ばれる結果が存在する(Dunford & Schwartz 1958, §IV.16)。その内の一つとして、A がヒルベルト空間 H の正規直交集合で x ∈ H なら、 ⟨ x , y ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x,y\rangle =0} がすべての可算個の y ∈ A に対して成立し、 ∑ y ∈ A | ⟨ x , y ⟩ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2 {\displaystyle \sum _{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}} が成立するという定理がある。さらに A が H の正規直交基底で、x が任意のベクトルなら、級数 ∑ y ∈ A ⟨ x , y ⟩ y {\displaystyle \sum _{y\in A}\langle x,y\rangle \,y} が x に可換収束（あるいは無条件収束）する。これは、すべての ε > 0 に対して、ある有限集合 B0 が A 内に存在し、 ‖ x − ∑ y ∈ B ⟨ x , y ⟩ y ‖ < ε {\displaystyle \left\|x-\sum _{y\in B}\langle x,y\rangle y\right\|<\varepsilon } が B0 を含むすべての有限集合 B に対して成立することと同値である。さらに、集合 A についての以下の条件は同値である： 集合 A は H の正規直交基底。 すべてのベクトル x ∈ H に対して次が成立する。 ‖ x ‖ 2 = ∑ y ∈ A | ⟨ x , y ⟩ | 2 . {\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}.} また別の結果として、L2（あるいはより一般に Lp, 0 < p ≤ ∞）が完備という定理のことも、しばしばリース＝フィッシャーの定理と呼ばれる。
※この「近年の定理の形式」の解説は、「リース＝フィッシャーの定理」の解説の一部です。
「近年の定理の形式」を含む「リース＝フィッシャーの定理」の記事については、「リース＝フィッシャーの定理」の概要を参照ください。
- 近年の定理の形式のページへのリンク
