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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:25 UTC 版)

「フーリエ変換」の記事における「多次元版」の解説

フーリエ変換は勝手な次元 n において考えることができる。1-次元の場合と同様にさまざまな流儀があるが、本項では可積分函数 ƒ(x) に対して、 f ^ ( ξ ) = F ( f ) ( ξ ) = ∫ R n f ( x ) e − 2 π i x ⋅ ξ d x をフーリエ変換の定義とする。ここで、x および ξ は n-次元ベクトルであり、x · ξ はベクトルの点乗積である。点乗積はしばしば とも書き表される。 プランシュレルの定理やパーセバルの定理がそうであるように、上述の基本性質は n-次元フーリエ変換においても成立する。函数が可積分であるとき、フーリエ変換はやはり一様連続であり、リーマン・ルベーグの補題が成立する。 より高い次元ではフーリエ変換の制限問題の研究が興味深いものになる。可積分函数のフーリエ変換は連続で、この函数の任意の集合への制限が定義される。しかし自乗可積分函数のフーリエ変換は自乗可積分函数の一般の類を成す。そのような L2(Rn)-函数のフーリエ変換の制限は測度 0 の集合上では定義することができない。1 ≤ p ≤ 2 に対する Lp における制限問題の理解はいまだ活発な研究の行われる領域である。驚くべきことに、集合 S の曲率が非零であるようないくつかの場合には、フーリエ変換の S への制限を定義することができる。S が Rn における単位球面であるときが特に興味深い。この場合に、トマス-ステインの制限定理によれば、フーリエ変換の Rn における単位球面への制限は 1 ≤ p ≤ (2n + 2)/(n + 3) に対する Lp 上で有界作用素である。 1-次元の場合と多次元の場合とで、フーリエ変換の大きな違いは部分和作用素に関係する。与えられた可積分函数 ƒ に対し f R ( x ) = ∫ S R f ^ ( ξ ) e 2 π i x ⋅ ξ d ξ , x ∈ R n で定義される函数 ƒR を考える。さらに ƒ が Lp(Rn) に属すると仮定する。n = 1 で 1 < p < ∞ とし、SR = (−R, R) と置くと、ヒルベルト変換の有界性から ƒR は R を無限大に飛ばす極限で ƒ に Lp 内で収束する。素朴に n > 1 の場合にも同様であることを期待するかもしれない。SR を一辺の長さが R の立方体とするならば、確かに部分和作用素はもとの函数に収束する。別の自然な候補としてユークリッド球体 SR = {ξ : |ξ| < R} をとると、部分和作用素が収束するためには単位球体に対するマルチプライヤーが Lp(Rn) において有界である必要がある。n ≥ 2 に対しては、単位球体に対するマルチプライヤーは p = 2 でない限り有界にはならないというよく知られたチャールズ・フェファーマンの定理がある。事実として、p ≠ 2 のときには ƒR が ƒ に Lp 内で収束しないだけではなく、函数 ƒ ∈ Lp(Rn) であっても ƒR が Lp の元でさえないようなものまでが存在する。