T0-空間に対する操作

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T0-空間に対する操作

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/20 01:11 UTC 版)

「コルモゴロフ空間」の記事における「T0-空間に対する操作」の解説

よくある位相空間の例は大体が T0 である。実際、数学の多くの分野（特に非-T0 な空間が飛び交う解析学）では、非-T0 は後述するような方法で T0-空間に取り換えられるのが普通である。こういった考え方を実感するのに、よく知られた例を挙げる。自乗可積分函数の空間 L2(R)は、実数直線 R から複素数平面 C への可積分函数 f で |f(x)|2 の実数直線全体に亙るルベーグ積分が有限になるもの全てからなる空間とする。この空間は可測函数 f の積分の平方根をノルム ǁfǁ としてノルム線型空間になる、と言いたいのだけれども問題があって、この「ノルム」だと零値函数以外にも「ノルム」が 0 になるような函数があるので、「ノルム」は本当はノルムではなくて半ノルムにしかならないのである。この問題を取り除く標準的な方法は、空間 L2(R) の元は函数そのものではなくて函数の属する同値類であるとすることである。これは、もともとの半ノルム線型空間から商空間を構成したのであって、得られた商空間がノルム線型空間になるのである。この構成ではいくつものよい性質をもとの半ノルム空間から受け継ぐ（後述）。 一般に、集合 X 上で決まった位相 T を扱う際には、その位相が T0 であった方が便利である。そうでなかった場合に、X のほうは変えずに T には適当に尾ひれを付けて強制的に T が T0 となるようにすることはあまり適当な方法ではない（非-T0 位相が重要な特殊化として得られることが多いことによる）。そこで、位相空間に対して定められる様々な条件について、その T0 版と非-T0 版の両方を理解することが重要になる。