T0 だが T1 でない空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/20 01:11 UTC 版)
「コルモゴロフ空間」の記事における「T0 だが T1 でない空間」の解説
可換環 R の素スペクトル Spec(R) 上のザリスキー位相は必ず T0 になるが一般には T1 でない。このとき、非閉点は極大イデアルでない素イデアルに対応する。これらの概念はスキームの理解において重要である。 二つ以上の元を持つ任意の集合上の特定点位相（英語版）（包含点位相）は T0 だが T1 でない。これは特定点が閉点でない（閉包をとると全体空間になってしまう）ことによる。特に重要な例として、集合 {0,1} に特定点位相を入れたものであるシェルピンスキー空間が挙げられる。 二つ以上の元を持つ任意の集合上の除外点位相（英語版）は T0 だが T1 でない。実際、除外点が唯一の閉点になる。 順序集合上のアレクサンドロフ位相（英語版）は T0 だが、順序が離散順序（つまり恒等関係）でない限り T1 にならない。任意の有限 T0-空間はこの種類であり、また特定点位相と除外点位相はこの特別の場合である。 順序集合上の右順序位相はこれと関連する例である。 重複区間位相（英語版）も、任意の開集合が 0 を含むから、特定点位相の場合とよく似ている。 きわめて一般に、位相空間 X が T0 であるための必要十分条件は X 上の特殊化前順序が半順序を成すことである。一方、X が T1 となるのは得られた半順序がさらに離散になるとき、かつそのときに限るので、特に X が T0 だが T1 でないことと、その特殊化前順序が非離散半順序となることとが同値になる。
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