せき‐ぶん【積分】
読み方：せきぶん
［名］(スル)
１ 与えられた関数について、微分してこの関数になるすべての関数。また、それを求めること。不定積分。
２ ある関数で表される曲線とx座標軸に挟まれた部分を、一定区間に区切ってその面積を極限値として求めること。またその極限値を定積分という。このとき、x軸より上部の面積を正、下部を負として定義する。微分してf（x）になる関数、すなわちf（x）の不定積分をF（x）とすると、積分記号∫を用いて、F（x）＝∫f（x）dxと関係づけられる。区間［a,b］における定積分の値Fは、関数F（x）にx＝a、bの値を代入して、その差をとることで得られる。すなわちF＝F（b）−F（a）で求められる。
[補説] これら積分と微分が互いに逆の演算であるという関係性は微分積分学の基本定理とよばれ、17世紀後半にニュートンとライプニッツによって独立して導かれ、やがて解析学という数学の一大分野に発展した。ある現象を特徴づける数量の変化を表す関数があり、それを積分した関数が得られれば、変化の積み重ねによって起こりうる現象を予測したり、数量を見積もったりすることができる。このように、積分は微分とともに、現代においてさまざまな現象を数学的に記述するための重要な手法となっている。
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 01:23 UTC 版)
上に示した線素を用いると、ベクトル F の経路 P {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}} に沿った線積分は次のようになる。 ∫ P F ⋅ d r = ∫ P ∑ i F i e i ⋅ ∑ j e j d q j = ∑ i ∫ P F i d q i {\displaystyle \int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}} 1つの座標qkを一定にして記述した面の面積の無限小要素は、以下のように変換され、 d A k = ∏ i ≠ k d s i = ∏ i ≠ k h i d q i {\displaystyle dA_{k}=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}} 同様に、体積要素も以下のように変換される。 d V = ∏ i d s i = ∏ i h i d q i {\displaystyle dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}} ここで、大きな記号Π（πの大文字）は、総乗を示す。即ち、すべてのスケールファクターの積はヤコビ行列式に等しいことを意味している。 例として、3次元のq1 = 定数で定まる面 S {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}} 上のベクトル値関数Fの面積分は次のようになる。 ∫ S F ⋅ d A = ∫ S F ⋅ n ^ d A = ∫ S F ⋅ e ^ 1 d A = ∫ S F 1 h 2 h 3 h 1 d q 2 d q 3 {\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}} ただし、F1/h1は、Fの、この表面に垂直な成分である。
※この「積分」の解説は、「直交曲線座標」の解説の一部です。
「積分」を含む「直交曲線座標」の記事については、「直交曲線座標」の概要を参照ください。
積分
「積分」の例文・使い方・用例・文例
- 積分学
- お返しに微積分のノートを貸してあげるわ。
- この微積分問題の答えを出しなさい.
- 彼は代数機何もろくに知らないまして微積分をやだ
- 積分法
- その積分を算出する
- 微積分学の実用化
- 関数の積分を求める計算法において用いられる演算
- 代数と微積分を使って方法論を使用する、または方法論を受ける
- それが微積分学を含んでいるため、我々は項の終わりにそれを与えた
- 微積分学の問題の解決に近似するためのアルゴリズムを研究する数学の部門
- 極限値、および関数の微分と積分に関する数学の分野
- 微積分と限界値理論に関する数学の分野
- 微分係数と差の概念によって独立変数（または変数）の変化に関して関数の変動に対処する微積分学の部分
- 微分方程式や測定範囲、または体積における方程式の解での積分やその応用を処理する微積分学の一部
- 数学的な積分の結果
- Cがあらゆる実数であり、F(x)がf(x)の積分である関数の組F(x)+C
- 定積分内の関数の積分
- 定積分の最大値と最小値の計算
- 宇宙が独立したモナドから成ることについて考え、ニュートンとは無関係に微積分学のシステムを考案したドイツの哲学者でと数学者（1646年−1716年）
積分と同じ種類の言葉
品詞の分類
- >> 「積分」を含む用語の索引
- 積分のページへのリンク
