体積積分
体積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/02 20:00 UTC 版)
ここではx -y -z 空間で定義されたスカラー値関数f の、式(3-1-1)の円柱M 内部での積分 ∫ M f d x d y d z {\displaystyle {\int }_{M}f\ dxdydz} (5-1-1) M = { ( x y z ) | x 2 + y 2 ≤ r 0 0 ≤ z ≤ z 0 } {\displaystyle M=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leq {{r}_{0}}\\0\leq z\leq {{z}_{0}}\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} = { ( x y z ) | − r 0 ≤ x ≤ r 0 − r 0 2 − x 2 ≤ y ≤ r 0 2 − x 2 0 ≤ z ≤ z 0 } {\displaystyle =\left\{\left.\left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}-r_{0}\leq x\leq r_{0}\\-{\sqrt {r_{0}^{2}-x^{2}}}\leq y\leq {\sqrt {r_{0}^{2}-x^{2}}}\\0\leq z\leq z_{0}\end{matrix}}\right.\right\}\right.} (5-1-2) ∫ M f d x d y d z = ∫ z = − z 0 z = z 0 ∫ x = − r 0 x = r ∫ y = − r 0 2 − x 2 y = r 0 2 − x 2 f ( x , y , z ) d x d y d z {\displaystyle \int _{M}{f\ dxdydz}=\int _{z=-{{z}_{0}}}^{z={{z}_{0}}}{\int _{x=-{{r}_{0}^{}}}^{x=r}{\int _{y=-{\sqrt {{{r}_{0}^{2}}-{{x}^{2}}}}}^{y=\ {\sqrt {{{r}_{0}^{2}}-{{x}^{2}}}}}{\ f(x,y,z)\ dxdydz}}}} (5-1-3) ∫ M f d x d y d z = ∫ L ( f ∘ Φ ) ⋅ ( det J Φ ) d r d θ d ζ = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ ζ = − z 0 ζ = z 0 r ⋅ ( f ∘ Φ ) ( r , θ , ζ ) d r d θ d ζ {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{M}^{}{f\ dxdydz}&=\int _{L}{(f\circ \Phi )\cdot (\det J\Phi )\ drd\theta d\zeta }\\&={\int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }\int _{\zeta =-{{z}_{0}}}^{\zeta ={{z}_{0}}}{\ r\cdot \left(f\circ \Phi \right)(r,\theta ,\zeta )\ drd\theta d\zeta }}}\end{aligned}}} (5-1-4) が分かる。 以上、まとめると、 ∫ M f d x d y d z = ∫ z = − z 0 z = z 0 ∫ x = − r 0 x = r ∫ y = − r 0 2 − x 2 y = r 0 2 − x 2 f ( x , y , z ) d x d y d z = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ ζ = − z 0 ζ = z 0 r ⋅ ( f ∘ Φ ) ( r , θ , ζ ) d r d θ d ζ {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{M}{f\ dxdydz}&=\int _{z=-z_{0}}^{z=z_{0}}{\int _{x=-r_{0}}^{x=r}{\int _{y=-{\sqrt {r_{0}^{2}-x^{2}}}}^{y=\ {\sqrt {r_{0}^{2}-x^{2}}}}{\ f(x,y,z)\ dxdydz}}}\\&=\int _{r=0}^{r=r_{0}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int _{\zeta =-z_{0}}^{\zeta =z_{0}}{\ r\cdot \left(f\circ \Phi \right)(r,\theta ,\zeta )\ drd\theta d\zeta }}}\end{aligned}}} (5-1-5) がわかる。
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