偏微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2013/04/04 15:52 UTC 版)
多変数の合成関数の微分公式・変数変換
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詳細は「ヤコビアン」を参照
合成関数に関する偏微分には連鎖律 (chain rule) が成り立つ。たとえば、
で定まる関数 z = f(x, y) = F(t) は、t の一変数関数であり、この微分 dz/dt = dF(t)/dt は
で与えられる。また例えば、
で定まる関数z = f(x, y) = F(u,v) は、u、v の二変数関数で、これの偏微分が
![\begin{cases}
\dfrac{\partial z}{\partial u} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial z}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial u}\\[16pt]
\dfrac{\partial z}{\partial v} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial z}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial v}
\end{cases}](http://img.westatic.com/ic/?u=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fmath%2F7%2Ff%2Fb%2F7fbad9e120055373b90c490ec053fc35.png)
で与えられる。一般に u = f(x1, x2, ..., xn), xi = xi(t1, t2, ..., tm) (1 ≤ i ≤ n) が t = (t1, t2, ..., tm) について微分可能ならば、
![\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial u}{\partial t_1}\\[16pt]
\dfrac{\partial u}{\partial t_2}\\[16pt]
\vdots\\[16pt]
\dfrac{\partial u}{\partial t_m}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial u}{\partial x_1} \dfrac{\partial x_1}{\partial t_1}
+ \dfrac{\partial u}{\partial x_2} \dfrac{\partial x_2}{\partial t_1}
+ \cdots + \dfrac{\partial u}{\partial x_n} \dfrac{\partial x_n}{\partial t_1}\\[16pt]
\dfrac{\partial u}{\partial x_1} \dfrac{\partial x_1}{\partial t_2}
+ \dfrac{\partial u}{\partial x_2} \dfrac{\partial x_2}{\partial t_2}
+ \cdots + \dfrac{\partial u}{\partial x_n} \dfrac{\partial x_n}{\partial t_2}\\[16pt]
\vdots\\[16pt]
\dfrac{\partial u}{\partial x_1} \dfrac{\partial x_1}{\partial t_m}
+ \dfrac{\partial u}{\partial x_2} \dfrac{\partial x_2}{\partial t_m}
+ \cdots + \dfrac{\partial u}{\partial x_n} \dfrac{\partial x_n}{\partial t_m}
\end{pmatrix}](http://img.westatic.com/ic/?u=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fmath%2F3%2F6%2F6%2F36646e95dc913261e673f24bea1920dd.png)
となる。これを、連鎖律の公式 (chain rule)という。
また、変数 u = (u1, u2, ..., un) を
- ui = ui(t) (1 ≤ i ≤ n)
により変数 t = (t1, t2, ..., tn) に変数変換したときの関数行列式（ヤコビアン）を ∂(u)/∂(t) と書くことにすると、さらに t を
- ti = ti(x) (1 ≤ i ≤ n)
により x = (x1, x2, ..., xn) に変数変換したとき
が成り立つ。特に u = x のとき
が成り立つ。n = 1 のときは合成関数の微分公式 du /dx = du /dt · dt /dx であるからこれもその一般化になっている。
多変数の平均値定理・テイラーの定理
一変数の場合を利用すると多変数の場合にもテイラーの公式を拡張することができる。 Rn の領域 D で定義された十分滑らかな関数 u = f(x) を考える。D の任意の点 x = (x1, x2, ..., xn) とその十分近くの点 x + h ∈ D (h = (h1, h2, ..., hn))に対し、F(t) = f(x + th) (t ∈ [0, 1]) は t に関して十分滑らかなのでテイラーの公式より
となる 0 < θ < 1 が存在する。ここで、
を代入して t = 1 とすると
を得る。これが多変数のテイラーの公式である。特に m = 1 のときの式は
で、これが多変数の場合の平均値の定理である。
関連項目
偏微分と同じ種類の言葉
偏微分に関連した本
- なっとくする偏微分方程式 (なっとくシリーズ) 武曽 宏幸 講談社
- 計算力が身に付く偏微分と重積分 佐野 公朗 学術図書出版社
- 偏微分方程式入門 (基礎数学) 金子 晃 東京大学出版会
偏微分に関係した商品
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