偏微分 多変数の合成関数の微分公式・変数変換

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偏微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2014/06/23 14:27 UTC 版)

多変数の合成関数の微分公式・変数変換

合成関数に関する偏微分には連鎖律 (chain rule) が成り立つ。たとえば、

\begin{cases} 
  z = f(x,y) \\
  x = x(t)\\
  y = y(t)
\end{cases}

で定まる関数 z = f(x, y) = F(t) は、t の一変数関数であり、この微分 dz/dt = dF(t)/dt

\frac{df(x(t),y(t))}{dt} = 
  \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \frac{dx(t)}{dt} 
   + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \frac{dy(t)}{dt}

で与えられる。また例えば、

\begin{cases} 
  z = f(x,y) \\
  x = x(u,v) \\
  y = y(u,v)
\end{cases}

で定まる関数z = f(x, y) = F(u,v) は、uv の二変数関数で、これの偏微分が

\begin{cases}
 \dfrac{\partial z}{\partial u} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial z}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial u}\\[16pt]
 \dfrac{\partial z}{\partial v} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial z}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial v}
\end{cases}

で与えられる。一般に u = f(x1, x2, ..., xn), xi = xi(t1, t2, ..., tm) (1 ≤ in) が t = (t1, t2, ..., tm) について微分可能ならば、

\begin{pmatrix}
 \dfrac{\partial u}{\partial t_1}\\[16pt]
 \dfrac{\partial u}{\partial t_2}\\[16pt]
 \vdots\\[16pt]
 \dfrac{\partial u}{\partial t_m}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
 \dfrac{\partial u}{\partial x_1} \dfrac{\partial x_1}{\partial t_1} 
   + \dfrac{\partial u}{\partial x_2} \dfrac{\partial x_2}{\partial t_1} 
   + \cdots + \dfrac{\partial u}{\partial x_n} \dfrac{\partial x_n}{\partial t_1}\\[16pt]
 \dfrac{\partial u}{\partial x_1} \dfrac{\partial x_1}{\partial t_2} 
   + \dfrac{\partial u}{\partial x_2} \dfrac{\partial x_2}{\partial t_2} 
   + \cdots + \dfrac{\partial u}{\partial x_n} \dfrac{\partial x_n}{\partial t_2}\\[16pt]
 \vdots\\[16pt]
 \dfrac{\partial u}{\partial x_1} \dfrac{\partial x_1}{\partial t_m} 
   + \dfrac{\partial u}{\partial x_2} \dfrac{\partial x_2}{\partial t_m} 
   + \cdots + \dfrac{\partial u}{\partial x_n} \dfrac{\partial x_n}{\partial t_m}
\end{pmatrix}

となる。これを、連鎖律の公式 (chain rule)という。

また、変数 u = (u1, u2, ..., un) を

ui = ui(t) (1 ≤ in)

により変数 t = (t1, t2, ..., tn) に変数変換したときの関数行列式(ヤコビアン)を ∂(u)/∂(t) と書くことにすると、さらに t

ti = ti(x) (1 ≤ in)

により x = (x1, x2, ..., xn) に変数変換したとき

\frac{\partial(\mathbf{u})}{\partial(\mathbf{x})} = \frac{\partial(\mathbf{u})}{\partial(\mathbf{t})}\frac{\partial(\mathbf{t})}{\partial(\mathbf{x})}

が成り立つ。特に u = x のとき

1 = \frac{\partial(\mathbf{u})}{\partial(\mathbf{t})}\frac{\partial(\mathbf{t})}{\partial(\mathbf{x})}

が成り立つ。n = 1 のときは合成関数の微分公式 du /dx = du /dt · dt /dx であるからこれもその一般化になっている。

多変数の平均値定理・テイラーの定理

一変数の場合を利用すると多変数の場合にもテイラーの公式を拡張することができる。 Rn の領域 D で定義された十分滑らかな関数 u = f(x) を考える。D の任意の点 x = (x1, x2, ..., xn) とその十分近くの点 x + hD (h = (h1, h2, ..., hn))に対し、F(t) = f(x + th) (t ∈ [0, 1]) は t に関して十分滑らかなのでテイラーの公式より

F(t) = \sum_{k=0}^{m-1}\frac{t^k}{k!}F^{(k)}(0) + \frac{t^m}{m!}F^{(m)}(\theta t)

となる 0 < θ < 1 が存在する。ここで、

F^{(k)}(t) = \left(\sum_{i=1}^{n}h_i\frac{\partial}{\partial x_i}\right)^k f(\mathbf{x} + t\mathbf{h}) = d^k f(\mathbf{x} + t\mathbf{h})

を代入して t = 1 とすると

f(\mathbf{x+h}) = \sum_{k=0}^{m-1}\frac{1}{k!}d^k f(\mathbf{x}) + \frac{1}{m!} d^m f(\mathbf{x} + \theta\mathbf{h})

を得る。これが多変数のテイラーの公式である。特に m = 1 のときの式は

f(\mathbf{x+h}) - f(\mathbf{x}) = df(\mathbf{x} + \theta\mathbf{h})

で、これが多変数の場合の平均値の定理である。

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