Convergence of random variables

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確率変数の収束

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/04 08:03 UTC 版)

数学の確率論の分野において、確率変数の収束（かくりつへんすうのしゅうそく、英: convergence of random variables）に関しては、いくつかの異なる概念がある。確率変数列のある極限への収束は、確率論や、その応用としての統計学や確率過程の研究における重要な概念の一つである。より一般的な数学において同様の概念は確率収束 (stochastic convergence) として知られ、その概念は、本質的にランダムあるいは予測不可能な事象の列は、その列から十分離れているアイテムを研究する場合において、しばしば、本質的に不変な挙動へと落ち着くことが予想されることがある、という考えを定式化するものである。異なる収束の概念とは、そのような挙動の特徴づけに関連するものである：すぐに分かる二つの挙動とは、その列が最終的に定数となるか、あるいはその列に含まれる値は変動を続けるがある不変な確率分布によってその変動が表現される、というようなものである。

背景

「確率収束」とは、本質的にランダムあるいは予測不可能である事象の列がしばしばあるパターンへと落ち着くことが期待される、という考えを定式化するものである。そのパターンとは、例えば、

• ある固定値や、ある確率事象から発生するそれ自身への、古典的な意味での収束
• 純粋な決定論的な関数から生じる結果への相似性の増加
• ある特定の結果への嗜好の増加
• ある特定の結果から離れていることに対する反発の増加

などが挙げられる。それより明白ではないが、より理論的なパターンとしては

• 次の結果を表現する確率分布が、ある分布へとより似るようになること
• ある特定の値から離れた結果の期待値を計算することによって形成される列が 0 へと収束すること
• 次の事象を表現する確率変数の分散がより少なくなっていくこと

などが挙げられる。これらの起こりうる異なるタイプのパターンは、研究されている異なるタイプの確率収束において反映される。

上述の議論は一つの列の一つの極限値への収束と関連しているが、二つの列が互いへと収束する概念も重要である。しかし、それは、それら2つの列の差や比によって定義される列を研究することによって容易に扱うことができる。

例えば、等しい有限の平均と分散を持つような n 個の無相関確率変数 Y_i, i = 1, …, n の平均が

$X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}$

このタイプの収束により、ある与えられた確率分布によってより良くモデル化されるようなランダム実験の列における結果を期待することができる。

分布収束は、この記事内で述べられる全ての他のタイプの収束も意味するという点において、最も弱い収束である。しかしながら、実際の現場において、分布収束は非常によく利用される; 最もよく現れるのは、中心極限定理の応用においてである。

定義

確率変数の列 X₁, X₂, … が、ある確率変数 X へと分布収束する、あるいは弱収束あるいは法則収束 (converge in law) するとは、

$\lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x),$

ウィキブックスにAsymptotic Convergence関連の解説書・教科書があります。

• 測度の収束
• 連続確率過程：確率過程の連続性についての問題は、本質的には、収束や、多くの同様の概念や関係についての問題である。
• 漸近分布
• 確率論における大文字Oの表記
• スコロホッドの表現定理

Weblio日本語例文用例辞書

「Convergence of random variables」の例文・使い方・用例・文例

• Microsoftがβ版をランチするのは「NetShow streaming server」で動画や音声をオンデマンドで提供する。
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 an admiral of the fleet 海軍元帥.
• 篏入的 r 音 《英音の India office /ndiərfɪs/の /r/の音》.
• ＝《口語》 These kind of stamps are rare. この種の[こういう]切手は珍しい.
• (英国の)運輸省. the Ministry of Education(, Science and Culture) (日本の)文部省.
• は of の誤植です.
• を off と誤植する.
• あいまい母音 《about, sofa などの /ə/》.
• 副詞的小詞 《on, in, out, over, off など》.
• 迂言的属格 《語尾変化によらず前置詞によって示す属格; たとえば Caesar's の代わりの of Caesar など》.
• çon of garlic [humor]. それにはガーリック[ユーモア]がちょっぴり必要だ.
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 the Speaker of the House of Commons 下院議長.
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 the Committee of Ways and Means 歳入委員会.
• 初めて読んだ英文小説は“The Vicar of Wakefield”
• （違法罪―a sin of commission―に対する）怠惰罪
• 『each』、『every』、『either』、『neither』、『none』が分配的、つまり集団の中の1つのものを指すのに対し、『which of the men』の『which』は分離的である
• 『hot off the press（最新情報）』は『hot（最新の）』の拡張感覚を示している
• 『Each made a list of the books that had influenced him』における制限節は、リストに載った本を制限節で定義された特定の本だけに制限する
• 臨床的鬱病を治療するのに用いられる三環系抗鬱薬（商品名ImavateとTofranil）
• 『sunshine-roof』は『sunroof（サンルーフ）』に対する英国の用語である