二元配置分散分析とは？ わかりやすく解説

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二元配置分散分析


検定手順:
  1. 二要因 A，B の組合せによる測定値を，表 1 のように表す。
    表 1.　二元配置分散分析の各セルの繰返し数と平均値
    要因 B
    　水準 1　 　水準 2　 　…　 　水準 b　 ケース数合計 平均値
    要因 A水準 1 n11 n12 … n1b n1・ 二元配置分散分析1・
    水準 2 n21 n22 … n2b n2・ 二元配置分散分析2・
    ： ： ： … ： ： ：
    水準 a na1 na2 … nab na・ 二元配置分散分析a・
    ケース数
    合計    		 n・1 n・2 … n・b n・・
    平均値 二元配置分散分析・1 二元配置分散分析・2 ... 二元配置分散分析・b 二元配置分散分析・・

  2. 前提

各セルのケース数により，以下の 4 つの方法のどれかにより検定を行う。

二元配置分散分析--各水準の繰返し数が等しく，1 である場合


例題：
　「表 1 のようなデータがある。4 種の肥料間で収量に差があるか，また，3 種の品種ごとに差があるか検定しなさい。」
表 1．各水準の繰返し数が等しく，1 である場合
肥料
品種 B1 B2 B3 B4
A1 9 17 12 16
A2 1 21 16 11
A3 7 19 6 9


検定手順:
  1. 前提
  2. 各セルの測定値を Xij（ i = 1， 2， ... ， a；j = 1， 2， ... ， b ）とする。
    例題では，a = 3，b = 4 である。
  3. 分析対象変数 X の全変動 SSt は以下のように 3 個の独立な変動に分解できる。
    全変動 = 要因 A の効果 + 要因 B の効果 + 残差
    SSt = SSa + SSb + SSe
    SSa と SSb はそれぞれ要因 A，要因 B の主効果とよばれる。この場合には交互作用はない。これは，乱塊法に他ならない。
    二元配置分散分析--各水準の繰返し数が等しく，1 である場合
  4. 二元配置分散分析の結果は，表 2 のような分散分析表で表される。
    表 2．分散分析表 - 1
    変動要因 平方和 自由度 平均平方 F値
    要因 A SSa dfa=a-1 MSa=SSa/dfa Fa=MSa/MSe
    要因 B SSb dfb=b-1 MSb=SSb/dfb Fb=MSb/MSe
    残差 SSe dfe=(a-1)(b-1) MSe=SSe/dfe
    全体 SSt dft=ab-1

    例題では，表 3 のようになる。
    表 3．例題に対する分散分析表
    要因 平方和 自由度 平均平方 F 値 有意確率
    品種 21.50000 2 10.75000 0.6592845 0.55103
    肥料 268.6667 3 89.55556 5.492334 0.03719
    残差 97.83333 6 16.30556
    合計 388.0000 11 35.27273

  5. 要因 A の有意性の検定は，Fa が第 1 自由度が dfa，第 2 自由度が dfe である F 分布に従うことを利用する。
  6. 要因 B の有意性の検定は，Fb が第 1 自由度が dfb，第 2 自由度が dfe である F 分布に従うことを利用する。
  7. それぞれの自由度を持つ F 分布において，有意確率を P = Pr｛F ≧ F0｝ とする。
    F 分布表（α = 0.05，α = 0.025，α = 0.01，α = 0.005），または F 分布の上側確率の計算を参照すること。
    例題では，品種の差については，自由度が（2，6）の F 分布において，Pr｛F ≧ 5.14｝= 0.05　であるから，P = Pr｛F ≧ 0.659｝＞ 0.05 である（正確な有意確率：P = 0.551）。
    肥料の差については，自由度が（3，6）の F 分布において，Pr｛F ≧ 4.76｝= 0.05　であるから，P = Pr｛F ≧ 5.492｝＜ 0.05 である（正確な有意確率：P = 0.037）。
  8. 帰無仮説の採否を決める。

    例題では，有意水準 5% で検定を行うとすれば（α = 0.05），品種の差においては P ＞ α であるから，帰無仮説を採択する。すなわち，「品種の差があるとはいえない」とする。肥料の差においては P ＜ α であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「肥料の差がある」とする。

二元配置分散分析--各水準の繰返し数が等しく，2 以上である場合


例題：
　「年齢と季節がホルモンの分泌量と関係するかどうかについて，年齢階級および各季節ごとにそれぞれ別々に 3 人ずつ，計 60 人の被検者のホルモン分泌量を測定した結果は表 1 のようになった。5% の有意水準で二元配置分散分析をしなさい。」
表 1 ．年齢と季節がホルモン分泌量に与える影響
20〜24歳 25〜29歳 30〜34歳 35〜39歳 40〜45歳
春 24.8
23.9
24.1		 25.0
26.6
27.9		 27.5
32.5
29.5		 29.8
26.7
30.7		 28.5
25.7
28.7
夏 28.8
22.6
28.0		 28.5
27.1
25.2		 26.3
28.2
31.8		 28.5
26.5
26.7		 31.3
29.4
29.8
秋 26.4
27.4
29.4		 27.9
29.2
26.7		 30.2
31.7
29.2		 31.7
27.2
25.5		 30.3
29.6
31.7
冬 30.0
28.7
29.2		 25.0
29.9
29.4		 30.3
30.9
28.4		 29.9
27.3
28.8		 33.6
32.0
34.3


検定手順:
  1. 前提
  2. 繰返し数を n，各セルの測定値を Xijk（i=1，2，... ，a；j=1，2，... ，b；k=1，2，... ，n）とする。
    例題では，n = 3，a = 4，b = 5 である。
  3. 表 2 の各水準の平均値は，二元配置分散分析--各水準の繰返し数が等しく，2 以上である場合i . .，二元配置分散分析--各水準の繰返し数が等しく，2 以上である場合. j . のように “.” が最後にもう 1 個つき，それは各水準の組み合わせでの繰返し数 nij を意味する。また，二元配置分散分析--各水準の繰返し数が等しく，2 以上である場合ij . は各水準の組み合わせでの平均値を意味する。
  4. この場合には，分析対象変数 X の全変動 SSt は以下のように 4 個の独立な変動に分解できる。
    全変動 = 要因 A の効果 + 要因 B の効果 + 要因 A と要因 B の交互作用 + 残差
    SSt = SSa + SSb + SSab + SSe
    二元配置分散分析--各水準の繰返し数が等しく，2 以上である場合
  5. この場合，二元配置分散分析は表 2 のような分散分析表で表される。
    表 2．分散分析表
    変動要因 平方和 自由度 平均平方
    要因 A SSa dfa = a - 1 MSa = SSa / dfa
    要因 B SSb dfb = b - 1 MSb = SSb / dfb
    交互作用 SSab dfab = ( a - 1 ) ( b - 1 ) MSab = SSab / dfab
    残差 SSe dfe = a b ( n - 1 ) MSe = SSe / dfe
    全体 SSt dft = a b n - 1

    表 3．分散分析表 を解釈する 3 つのモデル
    F 値
    変動要因 モデルI モデルII 混合モデル
    要因 A Fa = MSa / MSe MSa / MSab MSa / MSab
    要因 B Fb = MSb / MSe MSb / MSab MSb / MSe
    交互作用 Fab = MSab / MSe MSab / MSe MSab / MSe

    モデル I は 母数モデル とも呼ばれる。要因 A，B の各水準を固定された不動のものとみなす。

    モデル II は 変量モデル とも呼ばれる。要因 A，B の各水準は無数の水準の内の標本とみなし，そこから得られる推測結論を，標本以外の広い範囲へも適用しようとするものである。

    混合モデル は，片方の要因に母数モデル，もう一方の要因に変量モデルを考えるものである。
  6. それぞれの自由度を持つ F 分布において，有意確率を P = Pr｛F ≧ F0｝ とする。
    F 分布表（α = 0.05，α = 0.025，α = 0.01，α = 0.005），または F 分布の上側確率の計算を参照すること。
  7. 帰無仮説の採否を決める。

    例題では，それぞれのモデルごとに以下のようになる。各表の右端の欄に帰無仮説を棄却するか採択するかを示す。
    n.s. は有意確率が 0.05 以上なので，帰無仮説を採択する。
    * は有意確率が 0.05 以下なので，帰無仮説を棄却する。
    ** は有意確率が 0.01 以下なので，帰無仮説を棄却する。

    表 4．モデル I（ 母数モデル ）
    要因 平方和 自由度 平均平方 F値 有意確率
    季節 51.39733 3 17.13244 4.937067 0.00520 **
    年齢 106.2873 4 26.57183 7.657221 0.00011 **
    交互作用 52.85267 12 4.404389 1.269215 0.27389 n.s.
    残差 138.8067 40 3.470167
    合計 349.3440 59 5.921085

    表 5．モデル II（ 変量モデル ）
    要因 平方和 自由度 平均平方 F値 有意確率
    季節 51.39733 3 17.13244 3.889857 0.03739 *
    年齢 106.2873 4 26.57183 6.033035 0.00672 **
    交互作用 52.85267 12 4.404389 1.269215 0.27389 n.s.
    残差 138.8067 40 3.470167
    合計 349.3440 59 5.921085

二元配置分散分析--周辺度数に比例する場合


例題：
　「表 １ のようなデータについて二元配置分散分析を行いなさい。」
表 １．各水準の繰返し数が等しくないが，
周辺度数に比例する場合
要因 B
　b1　 　b2　 　b3　 　b4　 　b5　
要因 A 　a1　 7.0　
5.7　		 4.6　
5.6　		 7.0　
7.4　
6.6　		 7.3　
6.3　
7.8　		 5.3　
4.7　
　a2　 5.8　
8.9　		 10　
7.1　		 6.5　
9.8　
5.0　		 9.7　
6.4　
9.9　		 7.8　
5.4　
　a3　 8.1　
6.1　
10.2　
6.9　		 5.2　
5.7　
11.8　
6.1　		 10.4　
5.6　
9.4　
5.9　
12.1　
5.7　		 5.3　
9.7　
5.5　
10.2　
13.8　
7.0　		 11.1　
4.2　
7.1　
5.0　


検定手順:
  1. 前提
  2. 分析対象変数 X の全変動 SSt は，次式のように 4 個の独立な変動に分解できる。
    全変動 = 要因 A の効果 + 要因 B の効果 + 要因 A と要因 B の交互作用 + 残差
    SSt = SSa + SSb + SSab + SSe
    SSa と SSb はそれぞれ要因 A，要因 B の主効果とよばれる。
    二元配置分散分析--周辺度数に比例する場合
  3. この場合，二元配置分散分析は表 2 のような分散分析表で表される。
    表 2．分散分析表
    変動要因 平方和 自由度 平均平方
    要因 A SSa dfa = a - 1 MSa = SSa / dfa
    要因 B SSb dfb = b - 1 MSb = SSb / dfb
    交互作用 SSab dfab = ( a - 1 ) ( b - 1 ) MSab = SSab / dfab
    残差 SSe dfe = n・・- a b MSe = SSe / dfe
    全体 SSt dft = n・・ - 1

    表 3．分散分析表 を解釈する 3 つのモデル
    F 値
    変動要因 モデルI モデルII 混合モデル
    要因 A Fa = MSa / MSe MSa / MSab MSa / MSab
    要因 B Fb = MSb / MSe MSb / MSab MSb / MSe
    交互作用 Fab = MSab / MSe MSab / MSe MSab / MSe

    モデル I は 母数モデル とも呼ばれる。要因 A，B の各水準を固定された不動のものとみなす。

    モデル II は 変量モデル とも呼ばれる。要因 A，B の各水準は無数の水準の内の標本とみなし，そこから得られる推測結論を，標本以外の広い範囲へも適用しようとするものである。

    混合モデル は，片方の要因に母数モデル，もう一方の要因に変量モデルを考えるものである。

  4. それぞれの自由度を持つ F 分布において，有意確率を P = Pr｛F ≧ F0｝ とする。
    F 分布表（α = 0.05，α = 0.025，α = 0.01，α = 0.005），または F 分布の上側確率の計算を参照すること。
  5. 帰無仮説の採否を決める。

    例題では，それぞれのモデルごとに以下のようになる。各表の右端の欄に帰無仮説を棄却するか採択するかを示す。
    n.s. は有意確率が 0.05 以上なので，帰無仮説を採択する。
    * は有意確率が 0.05 以下なので，帰無仮説を棄却する。
    ** は有意確率が 0.01 以下なので，帰無仮説を棄却する。

    表 4．モデル I（ 母数モデル ）
    要因 平方和 自由度 平均平方 F 値 有意確率
    要因 A 20.79688 2 10.39844 1.758991 0.18798 n.s.
    要因 B 19.53646 4 4.884115 0.8261929 0.51804 n.s.
    交互作用 7.848958 8 0.9811198 0.1659654 0.99400 n.s.
    残差 195.0825 33 5.911591
    合計 243.2648 47 5.175847

    表 5．モデル II（ 変量モデル ）
    要因 平方和 自由度 平均平方 F 値 有意確率
    要因 A 20.79688 2 10.39844 10.59854 0.00564 **
    要因 B 19.53646 4 4.884115 4.978102 0.02600 *
    交互作用 7.848958 8 0.9811198 0.1659654 0.99400 n.s.
    残差 195.0825 33 5.911591
    合計 243.2648 47 5.175847

    表 6．混合モデル
    要因 平方和 自由度 平均平方 F 値 有意確率
    要因 A 20.79688 2 10.39844 10.59854 0.00564 **
    要因 B 19.53646 4 4.884115 0.8261929 0.51804 n.s.
    交互作用 7.848958 8 0.9811198 0.1659654 0.99400 n.s.
    残差 195.0825 33 5.911591
    合計 243.2648 47 5.175847

二元配置分散分析--周辺度数にも比例しない場合


　二元配置分散分析において，「各水準の繰返し数が等しくなく，周辺度数にも比例しない」という状況は，データ採取後に 2 要因でケースを 2 重分類して要因効果を検討するような場合には最もありうる。
　このようなものを，非直交要因計画といい，要因の主効果が互に独立ではなく，交互作用も主効果と独立ではないので平方和（ 変動 ）の加法性はそのままでは成立しない。要因間に因果的順序がなく，主効果は交互作用よりはるかに大きい場合（ 古典的要因計画法 ）には以下のように分析が行われる。


例題：
　「表 1 のデータについて二元配置分散分析を行いなさい。」
表 1．非直交要因計画による観察データ
要因 B
　b1　 　b2　
要因 A　a1　 17　
16　
 25　
22　
　a2　 18　
26　
 34　
30　
34　
30　


検定手順:
  1. 前提
  2. 解析対象変数の変動が SSt である。
    例題では，SSt = 415.6 である。
  3. 分析対象変数 X の全変動 SSt は，次式のように 4 個の独立な変動に分解できる。
    全変動 = 要因 A の効果 + 要因 B の効果 + 要因 A と要因 B の交互作用 + 残差
    二元配置分散分析の結果は，表 2 のような分散分析表で表される。
    表 2．分散分析表
    変動要因 平方和 自由度 平均平方 F値
    要因 A SSa・b dfa・b = a - 1 MSa・b = SSa・b / dfa・b Fa・b = MSa・b / MSe
    要因 B SSb・a dfb・a = b - 1 MSb・a = SSb・a / dfb・a Fb・a = MSb・a / MSe
    交互作用 SSab dfab = ( a - 1 ) ( b - 1 ) MSab = SSab / dfab Fab = MSab / MSe
    残差 SSe dfe = n・・ - a b MSe = SSe / dfe
    全体 SSt dft = n・・ - 1

  4. 2 要因の加法的効果を SSa,b としたとき 2 要因は非直交であるから，SSa,b ≠ SSa + SSb である（ したがって，SSa + SSb + SSab + SSe ≠ SSt である ）。そこで，SSa,b のうち要因 B で説明されない部分を要因 A に割当て，要因 A で説明されない部分を要因 B に割当てる。具体的には，各要因についてダミー変数を用いた重回帰分析を行い，対応する変動を抽出する。
    例題では，要因 A，B の水準の数はそれぞれ 2 であるので，主効果を表すダミー変数はそれぞれ 1 個ずつ考えればよい。水準 1 の場合に 1，水準 2 の場合に 0 を取るようなダミー変数を考える。また，交互作用を表すダミー変数も 1 個考えればよく，要因 A，B とも水準 1 の場合に 1，そうでない場合に 0 を取るようなダミー変数を考える。
    重回帰分析に用いるデータ行列は表 3 のようになる。
    表 3．重回帰分析に用いるデータ行列
    水準 観察値
    （従属変数）    		 ダミー変数（独立変数）
    要因A 要因B A の主効果 B の主効果 A, Bの 交互作用
    1 1 17 1 1 1
    1 1 16 1 1 1
    1 2 25 1 0 0
    1 2 22 1 0 0
    2 1 18 0 1 0
    2 1 26 0 1 0
    2 2 34 0 0 0
    2 2 30 0 0 0
    2 2 34 0 0 0
    2 2 30 0 0 0

  5. 要因 A，B およびその交互作用を表す（ a - 1 ） + （ b - 1 ） + （ a - 1 ）（ b - 1 ）個のダミー変数を独立変数とし，解析対象変数を従属変数とした重回帰分析を行う。これは「飽和モデル」であり，2 つの要因の全ての効果を抽出するものである。重回帰分散分析表の残差平方和の項が SSe である。全てのダミー変数によって説明される平方和の項が SSa,b,ab である。SSt = SSa,b,ab + SSe という関係が成り立つ。
    例題では，飽和モデルとして，A の主効果，B の主効果，A, B の交互作用を表す 3 つのダミー変数を独立変数として重回帰分析を行う。
    表 4 から，残差平方和 SSe = 53.0 を得る。
    また，回帰により説明される平方和は SSa,b,ab = 362.6 である。
    表 4．飽和モデルの
    回帰分析における分散分析表
    要因 平方和 自由度 平均平方 F値
    回帰 362.6000 3 120.8667 13.68302
    残差 53.00000 6 8.833333
    全体 415.6000 9

  6. 要因 A，B を表す（ a - 1 ） + （ b - 1 ）個のダミー変数を独立変数とし，解析対象変数を従属変数とした重回帰分析を行う。これは要因 A と B の「加法モデル」である。全てのダミー変数によって説明される平方和の項は SSa,bである。
    例題では，要因 A と B の加法モデルとして，A の主効果，B の主効果を表す 2 つのダミー変数を独立変数として重回帰分析を行う。
    表 5 の回帰により説明される平方和は SSa,b = 357.4571 である。
    表 5．加法モデルの
    回帰分析における分散分析表
    要因 平方和 自由度 平均平方 F値
    回帰 357.4571 2 178.7286 21.51769
    残差 58.14286 7 8.306122
    全体 415.6000 9

  7. 要因 A，B の交互作用は，SSab = SSa,b,ab - SSa,b で定義する。
    例題では，表 4 の回帰により説明される平方和（ SSa,b,ab = 362.6 ）と，表 5 の回帰により説明される平方和（ SSa,b = 357.4571 ）の差（ 5.142857 ）が，交互作用の平方和 SSab = 362.6 - 357.4571 = 5.1429 である。
  8. 要因 A を表す（ a - 1 ）個のダミー変数を独立変数とし，解析対象変数を従属変数とした重回帰分析を行う。全てのダミー変数によって説明される平方和の項は要因 A の主効果 SSaである。
    例題では，要因 A を表す 1 つのダミー変数を独立変数として重回帰分析を行う。
    表 6 の回帰により説明される平方和が SSa = 180.2667 である。
    表 6．要因 A の
    回帰分析における分散分析表
    要因 平方和 自由度 平均平方 F値
    回帰 180.2667 1 180.2667 6.128045
    残差 235.3333 8 29.41667
    全体 415.6000 9

  9. 要因 B を表す（ b - 1 ）個のダミー変数を独立変数とし，解析対象変数を従属変数とした重回帰分析を行う。全てのダミー変数によって説明される平方和の項は要因 B の主効果 SSbである。
    例題では，要因 B を表す 1 つのダミー変数を独立変数として重回帰分析を行う。
    表 7 の回帰により説明される平方和が SSb = 236.0167 である。
    表 7．要因 B の
    回帰分析における分散分析表
    要因 平方和 自由度 平均平方 F値
    回帰 236.0167 1 236.0167 10.51397
    残差 179.5833 8 22.44792
    全体 415.6000 9

  10. 加法モデルにより説明される変動のうち，要因 B で説明されない部分を，「B で調整された A の主効果」として SSa ・ b = SSa,b - SSb で定義する。
    例題では，表 5 の回帰により説明される平方和（ SSa,b = 357.4571 ）と，表 7 の回帰により説明される平方和（ SSb = 236.0167 ）の差が，SSa ・ b = 357.4571 - 236.0167 = 121.4404 である。
  11. 加法モデルにより説明される変動のうち，要因 A で説明されない部分を，「A で調整された B の主効果」として SSb ・ a = SSa,b - SSa で定義する。
    例題では，表 7 の回帰により説明される平方和（ SSa,b = 357.4571 ）と，表 6 の回帰により説明される平方和（ SSa = 180.2667 ）の差が SSb ・ a =　357.4571 - 180.2667 = 177.1904 である。
  12. 要因 A の有意性の検定は，Fa・b が第 1 自由度が dfa・b，第 2 自由度が dfe である F 分布に従うことを利用する。
  13. 要因 B の有意性の検定は，Fb・a が第 1 自由度が dfb・a，第 2 自由度が dfe である F 分布に従うことを利用する。
  14. 交互作用 の有意性の検定は，Fab が第 1 自由度が dfab，第 2 自由度が dfe である F 分布に従うことを利用する。
  15. それぞれの自由度を持つ F 分布において，有意確率を P = Pr｛F ≧ F0｝ とする。
    F 分布表（α = 0.05，α = 0.025，α = 0.01，α = 0.005），または F 分布の上側確率の計算を参照すること。
  16. 以上をまとめて分散分析表を完成させる。
    例題では，表 8 のようになる。
    表 8．表 1 のデータに対する分散分析表 - モデル I（ 母数モデル ）
    要因 平方和 自由度 平均平方 F値 有意確率
    要因 A SSa・b 121.4405 1 121.4405 13.74798 0.01000
    要因 B SSb・a 177.1905 1 177.1905 20.05930 0.00420
    交互作用 SSab 5.142857 1 5.142857 0.5822102 0.47437
    残差 SSe 53.00000 6 8.833333
    合計 SSt 415.6000 9 46.17778

  17. 帰無仮説の採否を決める。

    例題では，有意水準 5% で検定を行うとすれば（α = 0.05），要因 A の効果は， P ＜ α であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「要因効果がある」とする。要因 B の効果は， P ＜ α であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「要因効果がある」とする。交互作用は， P ＞ α であるから，帰無仮説を採択する。すなわち，「交互作用があるとはいえない」とする。


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